La analítica de la prueba de que los exponentes de Lyapunov en sistemas Hamiltonianos pares de suma cero

Question

He leído que en sistemas Hamiltonianos, los exponentes de Lyapunov vienen en pares $(\lambda_i, \lambda_{2N-i+1})$ tales que su suma es igual a cero.

Es allí una manera de demostrar este analíticamente?

EDITAR: Vi esta aquí.

En simpléctica sistemas, LEs vienen en pares $(\lambda_i, \lambda_{2N-i+1})$ tales que su suma es igual a cero. Esto significa que el espectro de Lyapunov es simétrica. Es una manera de enfatizar la invariancia de la dinámica Hamiltoniana en virtud del cambio de la hora de flecha.

Answer 1

1. Estamos considerando un discreto tiempo de evolución $$x_{n}~=~f(x_{n-1})~=~f^{n\circ}(x_0), \qquad n~\in~\mathbb{N},$$ in a $2N$-dimensional symplectic manifold $(M,\omega)$, where $f$ es un symplectomorphism.

2. Supongamos por simplicidad trabajo en coordenadas locales. Definir la matriz Jacobiana como $$\tag{1} A(x,n)^{i}{}_{j}~:=~\frac{\partial (f^{n\circ} (x))^i}{\partial x^j}. $$

3. En el local de coordenadas de Darboux, la matriz Jacobiana (1) es una matriz simpléctica $$\tag{2} A^T\Omega A~=~ \Omega, \qquad \Omega ~:=~\begin{bmatrix} 0_N & -I_N \cr I_N & 0_N \end{bmatrix}.$$

4. Tenga en cuenta que la transpuesta $A^T$ es también un simpléctica de la matriz. Tenga en cuenta que $A^TA$ es positiva definida simpléctica de la matriz.

5. Simpléctica cuarteto mecanismo: Por un diagonalizable$^1$ simpléctica de la matriz, los autovalores forma cuartetos $$\tag{3} \{\lambda,\bar{\lambda}, \lambda^{-1},\bar{\lambda}^{-1}\}$$ en el plano complejo $\mathbb{C}$. Un cuarteto se convierte en un doblete en el eje real y en el círculo unidad.

6. Definir los exponentes de Lyapunov $$\tag{4} \left\{\lambda_1(x,n), \ldots, \lambda_{2N}(x,n)\right\}~\subset~\mathbb{R} $$ como los autovalores de la matriz de Hermitian $$\tag{5} \Lambda(x,n)~:=~\frac{1}{2n}\ln \left(A(x,n)^TA(x,n)\right).$$

7. Se desprende de la simpléctica doblete mecanismo (3), que los autovalores (4) se distribuyen simétricamente alrededor de 0 en el eje real $\mathbb{R}$.

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$^1$No todos los simpléctica matrices son diagonalizable. 2D Contraejemplo: $$\tag{6} A~=~\begin{bmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \end{bmatrix}.$$