¿La parte negativa de una función convexa es globalmente continua de Lipschitz?

Question

Supongamos que $f:R^n\to R$ es una función convexa. Definir la parte negativa $f^- (x) = |\min\{0, f(x) \}|$ . Es $f^-(x)$ globalmente continua de Lipschitz en $x$ ?

Creo que sí, ya que si no es así, el epígrafe de $f$ no es un conjunto convexo y tenemos una contradicción.

Edición: Permítanme aclarar mi pensamiento. Creo que $f^-$ es globalmente continua de Lipschitz porque si no lo es, entonces el epígrafe de $f$ no es un conjunto convexo. Pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Buena pregunta - aquí hay una respuesta parcial: Es cierto cuando $n=1$ .

Esquema de un caso: Supongamos que $a$ es el cero más pequeño de $f$ y $b$ el más grande. Entonces (si se necesitan versiones unilaterales de) $f'$ en $a$ y $b$ son finitos (ya que $f$ es localmente Lipschitz) y como $f'$ es creciente, el conjunto $f'([a,b])$ está acotado. Entonces $\sup \big|f'([a,b])\big|$ será su constante global de Lipschitz para $f^-$ .

Esbozo de otro caso: Supongamos que $a$ es el único cero de $f$ y decir $f'(a)\leq 0$ . Entonces $f'(x)\leq 0$ para $x\geq a$ pues de lo contrario habría otro cero. Como $f'$ es creciente, observamos que $|f'(a)| = \max_{x\geq a}|f'(a)|$ y por lo tanto $f^-$ es continua de Lipschitz con constante $|f'(a)|$ .

No sé si $n\geq 2$ .