Si $u(x) = \int_1^x \sin(x-t)t^2 dt$,, a continuación, $u'' + u -x^2 = 0$

Question

Supongamos $u(x) = \int_1^x \sin(x-t)t^2 dt$, compruebe que $u''+u - x^2 = 0$.

Sé cómo comprobar la ecuación, pero tengo curiosidad de saber si hay alguna forma más rápida de hacer esto (ya que este es un problema de la práctica para el examen GRE Subject). La forma en que me acerqué fue, en primera división el $\sin(x-t)$ plazo:

$$u(x) = \int_1^x \sin(x-t) t^2dt=\sin(x)\int_1^x\cos(t)t^2 dt-\cos(x)\int_1^x\sin(t)t^2dt$$

Después de que se aplique el Teorema Fundamental del Cálculo dos veces y recoger los términos.

Answer 1

Un poco más rápido enfoque sería utilizar el general de la regla de Leibniz (ver aquí), que rápidamente se rinde $u^{\prime\prime}(x)=x^2-u(x)$.

Answer 2

Podemos utilizar el siguiente formulario de Duhamel principio, aplicado a coeficientes constantes ecuaciones:

Duhamel del Principio: Vamos a $L$ ser una constante el coeficiente de operador diferencial de orden $n$. Supongamos $v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ resuelve $Lv=0$, con $\frac{d^iv}{dx^i}(0) = 0$ para $0\le i < n-1$ e $\frac{d^{n-1}v}{dx^{n-1}}(0) = 1$. Luego, continua $g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$, la función de $u:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $$u(x) = \int\limits_{a}^{x}{v(x-t)g(t)\text{ d}t}$$ satisface $Lu = g$ a $[a,b]$.

Esto puede ser demostrado por el uso de la regla de Leibniz para diferenciar la integral.

Tomando nota de que $v(x) = \sin x$ resuelve $v''+v=0$, con $v(0)=0$ e $v'(0)=1$, se deduce que el $u(x) = \int\limits_{1}^{x}{v(x-t)t^2\text{ d}t}$ resuelve $u''+u = x^2$, como se desee.

¿Cómo podría uno pensar de esto? Tratando de resolver demasiadas homogéneas ecuaciones diferenciales ordinarias.

Answer 3

Es similar a la regla del producto:

$$u(x) = \int_1^x \sin(x-t)t^2 dt$$

$$u'(x) = \int_1^x \cos(x-t)t^2 dt + \sin(x-x)x^2 = \int_1^x \cos(x-t)t^2 dt$$

$$u''(x) = \int_1^x -\sin(x-t)t^2 dt + \cos(x-x)x^2 = \int_1^x -\sin(x-t)t^2 dt + x^2 = -u+x^2$$

QED