La longitud de un número

Question

Hay un método que me permita calcular con precisión la longitud del número más grande que se ha creado durante la multiplicación de dos números?
A lo que me refiero es este:

1258
* 2569
Multiplicando el anterior obtenemos:

11322 : este es el resultado de multiplicar 9 * 1258
75480: este es el resultado de multiplicar 6 * 1258 y un cero, se agrega un relleno
629000:este es el resultado de multiplicar 5 * 1258 y dos ceros se agrega como un relleno
2516000: este es el resultado de multiplicar 2 * 1258 y tres se agregan ceros como un relleno
total = 11322 + 75480 + 629000 + 2516000 = 3231802 Estoy interesado en encontrar la longitud de la 2516000, que es ¿hay alguna manera de que me permitiría por adelantado (a sabiendas de las longitudes de dos operandos) calcular el mayor longitud posible (con relleno de ceros incluido)

Answer 1

Dado un $n$-número de dígitos $$A=a_{n-1}\cdots a_0=a_{n-1}10^{n-1}+\cdots+a_110^1+a_0$$ (donde $a_i\in\{0,\ldots,9\}$ e $a_{n-1}\neq0$) y un $m$-número de dígitos $$B=b_{m-1}\cdots b_0=b_{m-1}10^{m-1}+\cdots+b_110^1+b_0$$ (donde $b_i\in\{0,\ldots,9\}$ e $b_{m-1}\neq0$), el mayor número producidos en la multiplicación $A\cdot B$ va a ser $b_{m-1}10^{m-1}\cdot A$. La longitud de este número está dado por $$\lfloor \log_{10}(b_{m-1}10^{m-1}\cdot A)\rfloor+1=$$ $$m+\lfloor\log_{10}(A)+\log_{10}(b_{m-1})\rfloor=$$ $$m+n-1+\lfloor\log_{10}(a_{n-1}.a_{n-2}\ldots a_0)+\log_{10}(b_{m-1})\rfloor$$ Sin embargo, dependiendo de lo $b_{m-1}$ es y lo que los dígitos de $A$, esto va a ser igual a $m+n-1$ o $m+n$. Por ejemplo, si $A=111$ e $B=23$, el mayor número en la multiplicación se $2220$, que tiene una duración de 4; tenga en cuenta que $$4=3+2-1+\lfloor\log_{10}(1.11)+\log_{10}(2)\rfloor=3+2-1+\lfloor 0.3463\ldots\rfloor.$$ Sin embargo, si $A=999$ e $B=23$, el mayor número en la multiplicación se $19980$, que es de longitud 5, se nota que $$5=3+2-1+\lfloor\log_{10}(9.99)+\log_{10}(2)\rfloor=3+2-1+\lfloor 1.300\ldots\rfloor$$ Así que no hay manera de predecir la longitud exacta de la cantidad que usted está interesado en (el mayor plazo que ocurren en la multiplicación) a sabiendas de que sólo las longitudes de las dos entradas de $A$ e $B$. Sin embargo, si la longitud de $A$ es $n$ y la longitud de $B$ es $m$, se puede decir que la longitud es $m+n-1$ o $m+n$.

Answer 2

A la vieja usanza sería el uso de logaritmos en base 10.

La manera moderna sería el uso de la notación científica: $$1.258 \times 10^3 \; \times \; 2.569 \times 10^3 = 3.231802 \times 10^6$$ por lo que necesita de siete dígitos cuando la multiplicación de estos dos cuatro números de dos dígitos.

Desde una $n$ dígitos número positivo es $x \times 10^{n-1}$ para $1 \le x \lt 10$ y el producto de dos números de cada una de menos de 10 a menos de 100, usted puede generalizar esto para decir que la multiplicación de una $n$ dígito entero positivo por un $m$ dígito entero positivo necesidades de $n+m$ o $n+m-1$ dígitos: tome la primera a ser seguro.