Cómo demostrar a $\cos(\frac{B-C}2)\ge \sqrt{\frac{2r}{R}}$?

Question

Para cualquier triángulo $ABC$, probar que: $$\cos(\frac{B-C}2)\ge \sqrt{\frac{2r}{R}}$$

He intentado muchos métodos pero ninguno parece funcionar. He notado que $\cos(\frac{B-C}2)=\frac{AM}{2R}$ donde $M$ es el punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la bisectriz de $\angle A$, pero no fue de mucha ayuda. Aunque, de Euler de la desigualdad parece ser útil, no lo es. Y expandiéndose hacia fuera, $\cos(\frac{B-C}2)$ se vuelve muy complicado.

¿Alguien tiene alguna elegante métodos?

Answer 1

Se sabe que $$\frac{r}{4R}= \sin \frac{A}{2}\cdot\sin \frac{B}{2}\cdot\sin \frac{C}{2}.$$ y, en consecuencia,$$\frac{2r}{R}= 8\sin \frac{A}{2}\cdot\sin \frac{B}{2}\cdot\sin \frac{C}{2}.$$ $$\cos \frac{B-C}{2}\geq\sqrt{\frac{2r}{R}}\Leftrightarrow\cos^2 \frac{B-C}{2}\geq\frac{2r}{R}\Leftrightarrow\cos^2 \frac{B-C}{2}\geq 8\sin \frac{A}{2}\cdot\sin \frac{B}{2}\cdot\sin \frac{C}{2}\Leftrightarrow\cos^2 \frac{B-C}{2}\geq 4\sin \frac{A}{2}(\cos \frac{B-C}{2}-\cos \frac{B+C}{2})\Leftrightarrow$$ $$\cos^2 \frac{B-C}{2}\geq 4\sin \frac{A}{2}(\cos \frac{B-C}{2}-\sin \frac{A}{2})\Leftrightarrow(\cos \frac{B-C}{2}-\sin \frac{A}{2})^2\geq 0.$$