Dado un anillo de $k$, un grupo finito $G$ y un $k$-módulo de $M$, con una acción libre de $G$, ¿por qué es $M$ un módulo sobre el anillo de grupo $k[G]$? (¿cómo puedo encontrar un $k[G]$ base $M$?)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
keithchau
Puntos
28
Desde $G$ actúa libremente, $M=\oplus_i \mathbb{Z}[G]e_i$ para algunos $\{e_i\}\subset M$, como $\mathbb{Z}[G]$ módulo.
Ahora, como $R[G]$ módulo, $M=R\otimes_\mathbb{Z}(\oplus_i \mathbb{Z}[G]e_i/\thicksim)=\oplus_{j\in J} R[G]\overline{e_j}$ aquí $\overline{e_j}$ es un equivalente de la clase deducida por la siguiente relación
$e_i\thicksim' e_k$ fib $\exists r\in R$, $re_i=e_k$ o $re_k=e_i$.
Deducir proceso: $e_i\thicksim e_s$ fib $e_i\thicksim'e_{k_1}\thicksim'\cdots \thicksim'e_{k_m}\thicksim'e_s$ para algunos secuencia $\{e_{k_r}\}$.
$\{\overline{e_j}\}_{j\in J}$ es la base que desee.
Nota. Usando de esta manera, $R$ debe ser PID (director de la integral de dominio) para garantizar la $\overline{e_j}$ puede $R$ generado por 1 elemento, debido a que $M$ es libre de $R$ módulo.
De otra manera. Cambio el orden de $G$ e $R$.
Desde $M$ es libre de $R$ módulo, $M=\oplus_i Re_i$ as $R$ módulo
Ahora como $R[G]$ módulo, $M=\mathbb{Z}[G]\otimes_\mathbb{Z}(\oplus_i Re_i/\thicksim)$
donde $\thicksim$ está dado por
$e_i\thicksim e_k$ fib $\exists g\in G,~ge_i=e_k$
Desde $g^{-1}$ existe este momento, este es un equivalente de la relación y no necesitas hacer el deducir proceso.
Deje $\overline{e_j}$ ser el equivalente a la clase de nuevo, tenemos
$M=\oplus_jR[G]\overline{e_j}$. $(*)$
Nota. Usando de esta manera, $R$ debe ser una parte integral de dominio (ID) para garantizar la $(*)$ es una suma directa. La segunda manera es mejor.
