Demostrando que $X_{1:n}$ es suficiente para $\eta$ por factorización

Question

Me piden que demuestre que $X_{1:n}$ (la estadística de orden mínimo) es suficiente para $\eta$ en el caso de una muestra aleatoria $(X_1, ... , X_n)$ donde $X_i\sim EXP(1,\eta$ ) (es la distribución exponencial de dos parámetros $EXP(\theta,\eta):$ $(1/\theta)\exp(-(x-\eta)/\theta)$ , $x>\eta$ En este caso $\theta=1$ ), utilizando el "método de factorización", es decir, escribiendo $f(x_1,...,x_n;\eta)$ como $g(s,\eta)h(x_1,...,x_n)$ , donde $S$ es la estadística ( $X_{1:n}$ en este caso), $g(s;\eta)$ no depende de $x_1,...,x_n$ excepto a través de $s$ y $h(x_1,...,x_n)$ no implica $\theta$ .

Tengo $f(x_1,...,x_n;\eta)=\exp(n\eta)\exp(-\sum_{i=1}^n x_i)$ . La suma en el exponencial es la misma que $\sum_{i=1}^n x_{i:n}$ pero necesito una expresión que implique $x_{1:n}$ en un factor y el $x_i$ en el otro. No sé cómo hacer esto.

Sé que hay fórmulas para los pdf conjuntos de cualquier conjunto de estadísticas de orden (bastante largas), pero realmente no sé cómo proceder.

Gracias.

Answer 1

Voy a hacer una suposición educada de que $X \sim \mathrm{Exp}(1,\eta)$ significa que $X$ tiene densidad $$\newcommand{\Ind}[1]{\mathbf{1}_{(#1)}} f(x) \equiv f_X(x) = e^{-(x-\eta)}\Ind{x\geq\eta} \>, $$ donde $\Ind{A}$ es la función indicadora del evento $A$ .

Si $X_1, X_2, \ldots$ es una muestra iid de esta distribución, entonces la densidad conjunta es $$ \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n e^{-(x_i - \eta)} \Ind{x_i \geq \eta} = e^{-\sum_{i=1}^n x_i} e^{n \eta} \prod_{i=1}^n \Ind{x_i \geq \eta} = e^{-\sum_{i=1}^n x_i} e^{n \eta} \Ind{\min_i x_i \geq \eta} \> , $$ donde la última igualdad se deduce ya que el producto de los indicadores $\Ind{x_i \geq \eta}$ es uno si y sólo si el indicador $\Ind{\min_i x_i \geq \eta}$ es uno y en caso contrario es cero.

Ahora, toma $h(x_1,\ldots,x_n) = \exp(-\sum_i x_i)$ y $g(s,\eta) = e^{n \eta} \Ind{s \geq \eta}$ con $s = \min_i x_i$ y aplicar el teorema de la factorización.

Por lo tanto, $S = \min_{1 \leq i \leq n} X_i$ es suficiente para $\eta$ .