¿Cuáles son las funciones propias y los valores propios de una banda de Moebius?

Question

Una banda de Moebius es un ejemplo sencillo de superficie no orientable. Supongamos un modelo metálico muy fino de una, digamos de longitud $2\pi L$ (línea media), anchura a, espesor despreciable es perturbado ("pateado"), y luego se deja vibrar libremente de forma transversal. ¿En qué se diferencian sus vibraciones de las de un cilindro simple de las mismas dimensiones? ¿Y los valores propios, es decir, las frecuencias permitidas? (Esto no es un problema de tarea, pero podría serlo.) Para el caso de frontera libre, ¿qué pasa con las ondas de torsión en torno al eje longitudinal central de la tira? Ingenuamente, parece que debería haber una diferencia, es decir, una duplicación de las longitudes de onda. ¿Es eso cierto?

Answer 1

Serían unas ondas (obviamente, por lo que podemos describirlas utilizando exponenciales complejos)

$$\psi(x,y) = \exp i(l_xx + l_yy)$$

donde x indica la coordenada "periódica" e y la anchura de la banda.

lo único que queda por hacer es imponer algunas condiciones de contorno a la banda. Digamos que la banda tiene una longitud $L$ (en la dirección x) antes de volver a conectarse a sí mismo. Debemos escribir

$$\psi(x,y) \sim \psi(x+L,y')$$

Más concretamente, la imagen nos dice que el arriba se convierte en el abajo y la izquierda se convierte en la derecha después de una revulsión tal que las condiciones de contorno correctas son:

$$\psi(x,y) = \psi(x+L,-y) \rightarrow \exp(2il_y y) = \exp(i l_x L) \forall y$$

A primera vista no veo más soluciones que $l_y = 0$ y $l_x = \frac{2\pi n_x}{L}$

Conclusión

Si nadie encuentra un error en mi razonamiento, concluyo que la topología de la banda de mobius elimina la oscilación a lo largo de su y. Las oscilaciones a lo largo de la dirección x no plantean ningún problema.

De hecho, esto es coherente con la intuición. Basta con coger un trozo de papel y hacer una banda de Mobius con él. Verás que no puedes crear ningún modo (= curva) en su dirección y debido a las condiciones de contorno.

mensaje al OP: gracias por la interesante pregunta :)

Answer 2

Creo que se parecen a esto

En 2006 sentí curiosidad por los modos normales del grafeno: como láminas, cintas, tubos, etc. Doblé la estructura de una estrecha nanorbanda de grafeno en forma de cinta de Mobius y le di una "patada" de velocidades aleatorias. Estas son las perturbaciones resultantes que se propagaron alrededor del anillo en una simulación de dinámica molecular.