Cómo probar que la integral de la $\int_{0}^{\infty} x^{-1}\sin (x+x^{-1})\,dx=\pi J_0(2)$

Question

$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x}dx=\pi J_0(2)$$

I v encontrada:$$I=2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}{x}dx=3\int_{0}^{\infty}\frac{\sin \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)}{x}dx=...=n\int_{0}^{\infty}\frac{\sin \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)}{x}dx$$ Pero aún así yo no demostrar la integral，alguien me puede ayudar?

Answer 1

$$ \int_{0}^{+\infty}\sin\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\frac{dx}{x} = 2\int_{1}^{+\infty}\sin\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\frac{dx}{x}=2\int_{0}^{+\infty}\sin(2\cosh(nz))\,dz $$ es igual, en la indebida-Riemann sentido, $$ \frac{2}{n}\int_{0}^{+\infty}\sin(2\cosh u)\,du = \frac{2}{n}\underbrace{\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(2v)}{\sqrt{v^2-1}}\,dv}_{\text{constant}}. $$ A fin de obtener una expresión explícita para la constante es práctico para el estudio de la función $$ f(a) = \int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(a v)}{\sqrt{v^2-1}}\,dv$$ por integración por partes y la diferenciación bajo el signo integral, o simplemente a través de la transformada de Laplace. Tenemos $$ (\mathcal{L}f)(s) = \int_{1}^{+\infty}\frac{v}{(s^2+v^2)\sqrt{v^2-1}}\,dv=\frac{\pi}{2\sqrt{1+s^2}}=g(s) $$ y gracias a la ampliación del teorema del binomio $$ g(s) = \frac{\pi}{2}\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \binom{2n}{n}}{4^n s^{2n+1}} $$ tal que $$ f(a) = (\mathcal{L}^{-1}g)(a) = \frac{\pi}{2}\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \binom{2n}{n}}{4^n (2n)!}a^{2n}=\frac{\pi}{2}\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n a^{2n}}{4^n n!^2} = \frac{\pi}{2}\,J_0(a)$$ por la definición de la serie de $J_0$. Poniendo todo junto, se obtiene:

$$ \int_{0}^{+\infty}\sin\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\frac{dx}{x} = \color{red}{\frac{\pi\,J_0(2)}{n}}\approx \frac{1105}{1571 n}. $$

Answer 2

Probablemente la forma más sencilla de ver esto es que el sub $x=e^t$. El resultado es que la integral es igual a

$$\int_{-\infty}^{\infty} dt \, \sin{(2 \cosh{t})} = 2 \operatorname{Im} \int_0^{\infty} dt \, e^{i 2 \cosh{t}} = 2 \operatorname{Im} K_0(-i 2)$$

y utilice el hecho de que

$$K_0(-i 2) = \frac{\pi}{2} \left (Y_0(2) + i J_0(2) \right ) $$

y el resultado de la siguiente manera.