Dejemos que $c>0$ un parámetro fijo.
Utilizando la serie de Taylor quiero demostrar que existe una constante $A>0$ que no depende de $c$ tal que $$\ln\left(1-\frac{2f(t)}{f(t)+g(t)}\right)\ge A(\frac{c+1}{4})t^3$$ para todos $t\le \frac{1}{\sqrt c}$
donde para todos $t>0$ :
\begin{align} f(t) & =\frac{1-\cos(t\sqrt{c})}{c}-(\cosh(t)-1) \\[10pt] g(t) & =\frac{\sin(t\sqrt{c})}{\sqrt{c}}+\sinh(t) \end{align}
Esto es lo que escribí: para todos $t\le \frac{1}{\sqrt{c}}$
$$sin(t\sqrt{c})=t\sqrt{c}-\frac{(t\sqrt{c})^3}{3!}+..+(-1)^n\frac{(t\sqrt{c})^{2n+1}}{(2n+1)!}+O((t\sqrt{c})^{2n+3})$$ para todos $t\le \frac{1}{\sqrt{c}}$ para todos $t\le \frac{1}{\sqrt{c}}$
$$cos(t\sqrt{c})=1-\frac{(t\sqrt{c})^2}{2!}+..+(-1)^n\frac{(t\sqrt{c})^{2n}}{(2n)!}+O((t\sqrt{c})^{2n+1})$$ $$\cosh(t)=1+\frac{t^2}{2!}+..+\frac{t^{2n}}{(2n)!}+O(t^{2n+1})$$
$$\sinh(t)=1+\frac{t^3}{3!}+..+\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}+O(t^{2n+3})$$
Pero no sé cómo encontrar el resultado.
