Regla de la cadena para la matriz Hessiana

Question

Dado $f\colon \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ liso y $\phi \in GL(n)$. ¿Cuál es la matriz Hessiana $H_{f\circ \phi} = \left(\frac{\partial ^2 (f\circ \phi)}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{ij}$?

Answer 1

Denotar $H_g(x)$ la matriz Hessiana de una función de $g$. Denotar $g=f\circ \phi$. Por la regla de la cadena, tenemos $$D(f\circ\phi)(x)\cdot h=D(f(\phi x))\cdot D\phi\cdot h=D(f(\phi x))\cdot \phi\cdot h$$ por lo tanto $D(g)(x)=D(f(\phi x))\cdot \phi$. En particular, $$\partial_j g(x)=\sum_{k=1}^n\partial_kf(\phi x)a_{kj},$$ donde $a_{kj}$ es el $(k,j)$-ésima de $\phi$.Podemos hacer lo mismo, por un determinado $k$, para el mapa de $x\mapsto \partial_kf(\phi x)$. Tenemos $$\begin{align} \partial_{ij}f(\phi x)&=\sum_{k,l=1}^n(H_f(\phi x))_{lk}a_{li}a_{kj}\\ &=\sum_{k=1}^n(\phi^tH_f(\phi x))_{ik}a_{kj}\\ &=(\phi^tH_f(\phi x)\phi)_{ij}. \end{align}$$