Sólo estoy dando un repaso a alguna prueba, escribiendo y haciendo algún trabajo en mi propio. Pensé en publicar esto aquí para obtener retroalimentación y para asegurarse de que todo está correcto. Esperemos que el formato viene a través correctamente.
Ejercicio 1. Probar que si $\sigma$ es el $m$ -ciclo de $(a_{1}a_{2}...\, a_{m})$ , a continuación, para todos los $i\in\{1,2,...m\}$ , $\sigma^{i}(a_{k})=a_{k+i}$ donde $k+i$ es reemplazado por su menos positivo de residuos modulo $m$ . Deducir que $|\sigma|=m .$
Prueba. Procedemos por inducción. Para $i=1$ , $\sigma^{1}(a_{k})=a_{k+1}$ es verdad que la definición de una $m$- ciclo. Si $k=m$ , $\sigma^{1}(a_{m})=a_{m+1}$ sin embargo , por la definición de una $m$- ciclo, $\sigma^{1}(a_{m})=a_{1}$ . Por lo tanto, $a_{m+1}=a_{1}$ . Desde $(m+1)-1=m$ , $m+1$ se reemplaza con su menos positivo residen modulo $m$ . Se supone que esto es cierto para algunos $j<m$ .
$\sigma^{j+1}(a_{k})=\sigma(\sigma^{j}(a_{k}))=\sigma(a_{k+j})=a_{k+j+1}.$
Supongamos $k=m$ , a continuación,
$\sigma^{j+1}(a_{m})=\sigma^{j}(\sigma(m))=\sigma^{j}(a_{m+1})=a_{j+m+1}.$
Sin embargo, hemos descubierto antes de que $a_{m+1}=a_{1}.$ Por lo tanto,
$\sigma^{j}(a_{1})=a_{j+1}.$
Esto significa que $a_{j+1}=a_{j+m+1}$ y desde $(j+m+1)-(j+1)=m$ , $j+m+1$ se reemplaza con su menos positivo de residuos modulo $m .$
También tenga en cuenta que $\sigma^{m}(a_{k})=a_{k+m}$ y desde $k+m=k$ modulo $m$ , $\sigma^{m}(a_{k})=a_{k}$ lo que significa que $|\sigma|=m.$
