Teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados

Question

Hay Teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados .

Como los números primos que son $1\bmod4$ puede dividirse en la suma de dos cuadrados, ¿serán únicos los números cuadrados?

Por ejemplo, $41=4^2+5^2$ y los números al cuadrado serán 4 y 5.

Answer 1

Sólo para complementar la respuesta de Pantelis, la razón por la que son únicos se puede ver fácilmente en la prueba utilizando los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$ que es un UFD.

Answer 2

Sí, si no se tiene en cuenta el orden de los dos números o $\pm$ signo delante de los números.

Answer 3

Primas de la forma $p=4k+1\;$ tienen una descomposición única como suma de cuadrados $p=a^2+b^2$ con $0<a<b\;$ debido a Lemma de Thue .

Además, los primos de la forma $p=4n+3$ nunca tienen una descomposición en $2$ cuadrados, probados de varias maneras aquí .