Problema en la prueba: la Raíz de cualquier poder $n$ de un número entero positivo es irracionales o entero.

Question

La prueba en el libro (Elementales de la Teoría de números, por J. V. Uspensky, Heaslet) está dada de la siguiente manera:

Supongamos, esta raíz es representado por la fracción irreducible: $\frac{r}{s}$. También, $A,r,s,n \in \mathbb {Z} \text{ and all } \gt 0$. Necesidad de demostrar $(\frac{r}{s})^n = A$ es irracionales o entero.

Puede indicar como : $r^n = As^n$, de donde se sigue que $s^n \mid r^n => s \mid r^n$. En consecuencia, $(r^n,s) = s$, pero por el corolario $(r^n, s) =1$ e lo $s=1, A = r^n$. En consecuencia, si $A$ no es una enésima potencia de un número entero,debe ser irracional.

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Mi confusión radica en dos partes:

(i) ¿cómo se supone que : $s \mid r^n$.

(ii) El corolario $(r^n, s) =1$ es aparentemente derivada de $(r,s) = 1$, pero no está claro cómo.

De hecho, siento que este enfoque tan confuso que sería como un enfoque alternativo.

Answer 1

(i) ¿cómo se supone que : $s \mid r^n$.

Se desprende de la transitividad de la "divide" relación: $\;s \mid s^n \mid r^n\,$.

(ii) El corolario $(r^n, s) =1$ es aparentemente derivada de $(r,s) = 1$, pero no está claro cómo.

Una forma es de $(a\cdot b, c) \;\mid\; (a,c) \cdot (b,c)\,$, lo que implica $(r^n,s) \;\mid\; (r,s)^n = 1\,$.

De hecho, siento que este enfoque tan confuso que sería como un enfoque alternativo.

Véase, por ejemplo, Cómo probar que cualquier raíz enésima de un número entero que no es un entero, es irracional.

Answer 2

(i) $s^n\mid r^n$ significa que $r^n$ es algún múltiplo de $s^n$ (de hecho, es $A$ veces $s^n$). También, se sabe que $s^n$ es un múltiplo de $s$ (es $s^{n-1}$ veces $s$).

De esto podemos concluir que $r^n$ es un múltiplo de $s$ (es $As^{n-1}$ veces $s$). Escribimos esto es $s\mid r^n$.

(ii) si $(r^n,s)\neq1$,, a continuación, $r^n$ e $s$ debe tener al menos un factor primo común, $p$. Si $p$ divide $r^n$,, a continuación, $p$ divide $r$ (esto se deduce de la definición de propiedad de un primo: si $p$ es un número primo, y divide a un producto de números, a continuación, divide al menos uno de los factores en el producto).

Pero si $p$ divide tanto a $s$ e $r$, a continuación, divide $(s,r)$, lo $(s,r)\neq1$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto debemos tener $(s,r^n)=1$.

Como métodos alternativos, no sé que va a ayudar, porque esta prueba viene muy natural. El estándar manera de demostrar que un número es irracional es suponer que es racional, y derivar una contradicción. La definición de la propiedad de $n$th raíces es que deshacer de ellos por elevar a la potencia de $n$. Y, básicamente, la única herramienta que tenemos para mostrar que las ecuaciones no tienen entero soluciones cuando se tiene soluciones reales (que esta claro que tiene) es la divisibilidad, así que tenemos que usar eso en alguna manera. Esta prueba sigue naturalmente a partir de estos hechos.