Ayuda para encontrar cúbicos con discriminante cuadrado

Question

Si el discriminante $b^2-4c$ de la cuadrática $x^2 + bx + c$ es un cuadrado, entonces es un factor. Para cada discriminante $d^2$ podemos parametrizarlos todos $(b,c) = (d + 2 h,h(d+h))$ . editar Ahora me he dado cuenta de que el caso cuadrático es trivial porque el discriminante es un cuadrado si es factor, así que la parametrización de dos variables es $(x-a)(x-b)$ por lo que podría no representar lo que ocurre con el cúbico.

Esperaba hacer una parametrización similar para los cúbicos $x^3 - ax + b$ con discriminante cuadrado $4a^3 - 27b^2 = d^2$ pero la factorización de los enteros de Eisenstein no parece facilitar el problema.

¿Hay algún otro enfoque prometedor que pueda probar?

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Me di cuenta de que el problema es simple cuando $d=0$ . En ese caso tenemos $a = 3 m^2$ , $b = 2 m^3$ . También cuando $d = b$ también obtenemos una parametrización sencilla, $a = 7m^2$ , $b = 7m^3$ pero no creo que estos ayuden a conseguir el caso general.

Answer 1

Una ecuación como $4a^3−27b^2=d^2$ por el hecho de ser fijo $d$ define una curva en el plano con coordenadas $a,b$ . Puede ser parametrizado por funciones racionales si y sólo si es singular, que es el caso en sus ejemplos $d = 0$ y $d = b$ . Si no, se puede completar a un curva elíptica que no pueden ser parametrizados por funciones racionales.

Answer 2

Yo no me centraría en la parametrización como tal. En lugar de ello, observaría que $4 a^3 = d^2 + 27 b^2.$ Esto da una restricción fácil de establecer en la factorización de primos de $a.$ Es necesario y suficiente que $a \geq 0$ y, siempre que cualquier primo $p | a$ y $p \equiv 2 \pmod 3,$ entonces el exponente de $p$ debe ser uniforme. Así que $a = 2$ o $a = 5$ o $a=10$ son imposibles. Sin el cubo, también habría una restricción en el primo 3, pero resulta que no importa porque se tiene $a^3.$ Sin el $4$ en $4a^3,$ habría una competencia entre $d^2 + 27 b^2$ y las demás formas del género, $4 u^2 \pm 2 u v + 7 v^2.$ Pero $$\left( \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \; \cdot \; \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 27 \end{array} \right) \; \cdot \; \left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \; \;\; \; \left( \begin{array}{cc} 16 & 4 \\ 4 & 28 \end{array} \right)$$

Ahora, intente $a = 4 = 2^2,$ para que el exponente de 2 sea par, se obtiene $4a^3 = 256,$ y se obtiene $d = 16, b = 0,$ que parece demasiado fácil. pondré algo más abajo, tal vez salte cuadros... Pero, dada una legalidad $a$ como se ha descrito, el número de pares $d,b$ es finito.

$$a = 1,4a^3 = 4, ( d = \pm 2, b = 0),$$ $$a = 3, 4a^3 = 108, ( d = \pm 9, b = \pm 1), ( d = 0, b = \pm 2),$$ $$a = 7, 4a^3 = 1372, ( d = \pm 20, b = \pm 6), ( d = \pm 7, b = \pm 7),$$ $$a = 12, 4a^3 = 6912, ( d = \pm 72, b = \pm 8), ( d = 0, b = \pm 16),$$ $$a = 13, 4a^3 = 8788, ( d = \pm 70, b = \pm 12), ( d = \pm 65, b = \pm 13).$$

Bien, dadas todas las representaciones posibles $a = s^2 + s t + t^2,$ se puede construir todo $d,b,$ una tarea molesta a menos que $a$ es primo con $a \equiv 1 \pmod 3.$ Esto es, esencialmente, lo que la factorización de los enteros de Eisenstein le dará.

En realidad, esta última parte era innecesariamente pesimista. Con un poco de tratamiento especial de los primos 2,3, puedo ver cómo crear todas las representaciones posibles de $a = j^2 + 3 k^2,$ crear todas las representaciones posibles de $4a^3 = m^2 + 3 n^2,$ entonces sólo guarda los cuando $3 | n.$ Bastante complicado pero bastante fácil de programar.

Answer 3

Si se factorizan los enteros de Eisenstein, se puede obtener una parametrización, aunque es un poco confusa.

Escriba $b + 3\sqrt{-3}d = b + 3d(2j+1) = (b+3d)+(3d)j = 2u$ , por lo que se puede escribir $a^3 = u \bar{u}$ . Desde $u \bar{u}$ debe ser un cubo, $u$ tiene que factorizar en racimos de productos de primos de la forma $p^3$ o $p^2 \bar{p}$ , por lo que se pueden encontrar enteros de Eisenstein $v$ y $w$ tal que $u = v^3w^2\bar{w}$ (aunque esta descomposición no suele ser única)

Esta parametrización le proporciona $a = vw\bar{v}\bar{w}$ y $(b+3d)+(3d)j = 2v^3w^2\bar{w}$ . Si quieres obtener parámetros enteros, entonces tendrás 4 parámetros, y para obtener las ecuaciones de $b$ y $d$ hay que ampliar el producto $v^3w^2\bar{w}$ para obtener sus componentes enteros, y luego resolver el sistema para $b$ y $d$ .

Answer 4

El discriminante de un cúbico irreducible es un cuadrado si y sólo si es un cúbico cíclico, es decir, si y sólo si su grupo de Galois es el grupo cíclico de orden $3$ . Existen tabulaciones en la literatura de todos los cúbicos cíclicos con discriminante menor que $n$ para varios valores de $n$ . Se pueden encontrar buscando en la web la frase "cúbico cíclico" (o "cúbico abeliano", que viene a ser lo mismo, ya que si el grupo de Galois no es el grupo cíclico de orden $3$ , debe ser el grupo simétrico sobre tres letras, cuyo grupo no es abeliano).