Qué hermoso pregunta! Vamos a dejarlo de nuevo por referencia:
"Es $X$ diffeomorphic a $Y$ si y sólo si $X$ es biholomorphic a $Y$?"
Como biholomorphic mapas son diffeomorphisms, una implicación es clara; los colectores que se biholomorphic son diffeomorphic. El otro no se sostiene, no se sostiene en absoluto, y es el punto de partida de un vasto y difícil tema de la "deformación de la teoría".
Como Riemann fue la primera observación, y otros después de él hizo hasta los trabajos fundamentales de Kodaira y Spencer en los años 60, de estructuras complejas en los colectores vienen muchos a la vez. A diferencia de los invariantes discretos, tales como la dimensión o "número de agujeros", estructuras complejas fijos en un colector de formar un espacio continuo.
Una vez que usted da a las palabras en la última frase de la derecha definiciones, usted será capaz de probar que si un fijo colector $X$ admite una estructura compleja, a continuación, en general se admite que toda una familia de estructuras complejas. De este modo se obtiene una infinidad de complejos colectores de $X_s$, en función de algún parámetro $s$, diffeomorphic tan suave colectores. A la inversa implicación de su pregunta lo que falla de forma espectacular.
Un buen ejemplo, donde uno ve esto en uno de curvas elípticas. Deje $s$ denotar un punto en el Poincaré semiplano $\mathbb H = \{ s \in \mathbb C \,|\, \text{Im} s > 0\}$. Cada punto se determina una curva elíptica $X_s = \mathbb C / \Lambda_s$ donde $\Lambda_s$ es el entramado $\mathbb Z \oplus s \mathbb Z$. Cuando son dos curvas biholomorphic?
Por el levantamiento de un potencial biholomorphism $f : X_s \to X_{s'}$ a un mapa de $\tilde f : \mathbb C \to \mathbb C$, se puede probar que $f$ debe ser inducida por una lineal mapa de $\tilde f$ que envía el entramado $\Lambda_s$$\Lambda_{s'}$. Ahora estos mapas son muy raros. Por ejemplo, para $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, las celosías $\mathbb Z \oplus i\mathbb Z$ $\mathbb Z \oplus i(1 + \epsilon) \mathbb Z$ nunca va a ser isomorfo (para una heurística razón: holomorphic mapas no puede estirar la $y$-eje, manteniendo el $x$-eje fijo). Tenemos así infinitamente muchos no biholomorphic curvas elípticas $X_s$.
Por otro lado, es fácil ver que cualquier curva elíptica es diffeomorphic a $\mathbb R^2 / \mathbb Z^2$. De hecho, no hay una única $\mathbb R$-lineal mapa de $\mathbb R^2$ a sí mismo el envío de la celosía $\mathbb Z^2$ a cualquier red de su elección. Este mapa va a inducir una diffeomorphism de las correspondientes curvas elípticas.
No estoy seguro de lo que sería un buen punto de referencia para el punto que usted, si usted quiere saber más, como no sé su fondo. Algunas de las palabras clave que te pueden ser de utilidad son "la deformación de la teoría", "espacio de moduli", y "esquema de hilbert". Los libros de Kodaira y Morrow-Kodaira podría ser útil, como tal vez "Moduli de curvas" por Harris y Morrison. Por desgracia, hay una escasez de buenas introducciones a este tema.
