Deje que B ⊂ R. sea L el conjunto de todos los límites de los puntos de B. Demostrar que B ∪ L contiene toda su límite de puntos.

Question

Deje que B ⊂ R. sea L el conjunto de todos los límites de los puntos de B. Demostrar que B ∪ L contiene toda su límite de puntos.

Tengo una pregunta acerca de esto.

Aquí está mi prueba

Supongamos que x es un punto límite de B ∪ L y x no pertenece a B ∪ L

Si x es un punto límite de B ∪ L, entonces x es punto límite de B o punto límite de L (o ambos)

Suponiendo que x no pertenece a B ∪ L

x no está en B y x no está en L

Aquí es donde estoy atascado y no se si este es el enfoque correcto

Puede alguien darme algunas ideas?

Answer 1

Supongamos que $w$ es un punto límite de $B\cup L$, a continuación, para abrir todas las bolas $\beta_r(w)$ no es un porcentaje ($x\in \beta_r(w)$tal que $x\in B$ o $x\in L$ Si $x\in L$ entonces no es $t<r$ tal que $\beta_t(x)\subset\beta_r(w)$, ¿ $x\in L$ , entonces hay un $y\in\beta_t(x)$ tal que $y \in B$ porque $x$ es un punto límite de $B$ eso $w$ es un punto límite de $B$ entonces $w\in L$ entonces $w\in B\cup L$.

Answer 2

Una alternativa comprobante (no del todo por la contradicción). Deje $x$ ser un punto límite de la unión de $B$ e $L$.

En cada barrio de $x$ contiene un punto de $B$ o todos los barrios de $x$ contiene un punto de $L$, porque de lo contrario no es un barrio de $V$ de % de $x$ sin puntos de $B$ y otro de vecindad $W$ sin puntos de $L$. Si ese fuera el caso, $V\cap W$ sería un barrio de $x$ sin puntos de la unión, contradiciendo la definición de $x$. Esto demuestra que la segunda declaración en su prueba.

Ahora,

• El primer caso del último párrafo significa que $x$ es un punto límite de $B$, de modo que pertenece a $L$.

• En el segundo caso, $x$ es un punto límite de $L$. Me dicen que también es un punto límite de $B$. De hecho, cualquier barrio de $U$ de % de $x$ contiene un punto en $L$, se $y$. Tenga en cuenta que $U$ es también un barrio de $y$, y desde $y$ es un punto límite de $B$, debe contener un punto de $B$ también. Esto significa que $x$ también es punto límite de $B$.

En suma, en ambos casos $x$ es un punto límite de $B$, y por lo tanto pertenece a la unión. El resultado de la siguiente manera.

Answer 3

"Si x es un punto límite de B ∪ L, entonces x es punto límite de B o punto límite de L (o ambos)"

No creo que se puede afirmar esto sin probarlo. Un punto límite, p, de la B $\cup$ U es aquella en la que cada barrio tiene un punto distinto de p, que es en B $\cup$ U. puedo imaginar, sin embargo, que una vecindad de un punto en B, mientras que el otro tiene un punto de U, pero no todo el vecindario constantemente tiene un punto en cualquiera de los dos.

Pero si p es un punto límite de B $\cup$ L, a continuación, en cada barrio N tiene un punto p $\in$ B $\cup$ L. Si q es en L, entonces p es un punto límite de B para cada uno de sus barrios tiene un punto r en B. Elija una vecindad de p que tiene una lo suficientemente pequeño para ser un subconjunto de N. por Lo que r $\in$ N. de Modo que en cada barrio de q tiene un punto en B. Así, si p es punto límite de B $\cup$ L el p es un punto límite de B y por lo tanto un miembro de L. Entonces B $\cup$ L cointains toda su límite de puntos.

Answer 4

Usted debe demostrar un poco más de rigor a su afirmación de que "$x$ ser un punto límite de $B\cup L$ medio $x$ es un punto límite de $B$ o un punto límite de $L$". Una vez que usted se puede afirmar que, por cierto, el siguiente paso que me gustaría dar es decir que $x$ no puede ser un punto límite de $B$, ya que significaría $x \in L \subset B\cup L$. Esto obliga a $x$ a ser estrictamente un punto límite de $L$. Puede continuar a partir de aquí una contradicción?