¿cuál es el grado del polinomio mínimo?

Question

Dejemos que $V$ y $ W$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb R $ y que $T_1 : V \rightarrow V$ y $T_2 : W \rightarrow W$ sea una transformación lineal cuyo polinomio mínimo sea $f_1 (x)= x^3+x^2+x+1$ y $f_2 (x)= x^4 - x^2-2$ . dejemos que $T : V\oplus W \rightarrow V \oplus W$ sea una transformación lineal s.t. $$T(v,w) =(T_1(v),T_2 (w)) $$ El polinomio mínimo de T es $f(x)$ , entonces deg $f(x)$ =? y nulidad T =?

No puedo encontrar tal $T_1$ , $T_2$ y $T$ por favor, guíame

No sé por dónde empezar... Estoy atascado en este problema. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Sólo para dar la respuesta obvia a esta vieja pregunta: el polinomio mínimo de un operador lineal que estabiliza cada uno de un par de subespacios complementarios es el mínimo común múltiplo (mónico) de los polinomios mínimos de su restricción a esos subespacios; esto es inmediato desde la definición.

Se puede calcular fácilmente $\gcd(x^4-x^2-2,x^3+x^2+x+1)=x^2+1$ y utilizando la relación $\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)=ab$ Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de estos polinomios es $(x^4-x^2-2)(x^3+x^2+x+1)/(x^2+1)=x^5+x^4-x^3-x^2-2x-2$ .