$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)^3}$ utilizando el análisis complejo

Question

Evaluar:

$$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)^3} \space \text{using complex analysis}$$

Esta es mi pregunta: tenemos que considerar una $f(z)$ tal que,

$$\frac{1}{2\pi i} \cdot\oint_{C_N} f(z) dz = \text{something (maybe residue)} + \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(n+1)(n+2)^3}$$

¿Cómo lo hacemos? Creo que consideramos, un cuadrado con vértices:

También tenemos que demostrar que como $N \to \infty$ que $\displaystyle \oint_{C_N} f(z) dz \to 0$

¿Puede alguien darme una idea?

Answer 1

He aquí una respuesta poco ortodoxa que necesita algo más de trabajo para ser rigurosa. Considere $$f(z) = \frac{\psi(-z)}{(z+1)(z+2)^3}.$$ Ciertamente podemos integrar alrededor de un contorno circular ya que ML da $2\pi R\times \log R/R^4.$

Ahora tenemos $$\mathrm{Res}_{z=0} f(z) = \frac{1}{8},$$ $$\mathrm{Res}_{z=-1} f(z) = -\gamma,$$ $$\mathrm{Res}_{z=-2} f(z) = \frac{\pi^2}{6} +\zeta(3) - 3 +\gamma,$$ y finalmente $$\mathrm{Res}_{z=n} f(z) = \frac{1}{(n+1)(n+2)^3},$$ Esto significa que la suma es $$\frac{23}{8} - \frac{\pi^2}{6} -\zeta(3).$$

Adenda. Para ver cómo calcular el residuo de $f(z)$ en $z=-2$ utilizar la fórmula integral de Cauchy para los coeficientes de la serie, que es $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z+2|=\epsilon} \frac{\psi(-z)}{(z+2)^{n+1}} \; dz.$$

Poner $z+2 = -w$ para conseguir $$- \frac{(-1)^{n+1}}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{\psi(w+2)}{w^{n+1}} \; dw$$

que es $$\frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{n+1}} \left(\frac{1}{w+1} + \psi(w+1)\right) \; dw$$

El primer componente se puede evaluar para obtener la serie $$1+(z+2)+(z+2)^2+(z+2)^3+\cdots$$ (recuerde que la integral CIF da el coeficiente en $(z+2)^n.$ )

El segundo componente es $$\frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{n+1}} \psi(w+1) \; dw$$

La serie zeta racional para la función digamma es $$\psi(z+1) = -\gamma - \sum_{k\ge 1} \zeta(k+1) (-z)^k$$ para $|z|<1.$

De ello se deduce que la segunda componente da la serie $$-\gamma - \sum_{k\ge 1} \zeta(k+1) (z+2)^k.$$

Esto da como resultado final $$\psi(-z) = 1-\gamma + \sum_{k\ge 1} (1-\zeta(k+1)) (z+2)^k.$$

Ahora bien, como $$\frac{1}{z+1} = \frac{1}{-1+z+2} = -\frac{1}{1-(z+2)} = -1 - (z+2) - (z+2)^2 - (z+2)^3 -\cdots$$

El residuo deseado es $$-(1-\zeta(3)) - (1-\zeta(2)) - (1-\gamma) = -3 + \gamma + \frac{\pi^2}{6} + \zeta(3).$$

Answer 2

Este enfoque no le permitirá obtener la suma que desea. Veamos por qué.

El contorno $C_N$ que muestra encierra polos simples en todos los enteros excepto en $z=-1$ que tiene un doble polo, y $z=-2$ que tiene un polo cuádruple. No los calcularé aquí, ya que no es necesario para demostrar mi punto de vista.

Podemos suponer con seguridad que la integral de contorno

$$\oint_{C_N} dz \frac{\pi \cot{\pi z}}{(z+1)(z+2)^3} $$

se desvanece como $N \to \infty$ . Sin embargo, por el teorema del residuo, esta integral de contorno es $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de los polos dentro de $C_N$ . Así, tenemos

$$\sum_{n=-\infty}^{-3} \frac1{(n+1)(n+2)^3} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac1{(n+1)(n+2)^3} + \left [\frac{d}{dz} \frac{\pi \cot{\pi z}}{(z+2)^3} \right ]_{z=-1} + \frac1{3!}\left [\frac{d^3}{dz^3} \frac{\pi \cot{\pi z}}{z+1} \right ]_{z=-2}= 0$$

Observa que la primera suma no coincide con la segunda. Es más fácil ver esto después de reescribir la primera suma subiendo $n \mapsto -n$ para conseguir

$$\sum_{n=3}^{\infty} \frac1{(n-1) (n-2)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac1{(n+1)^3 (n+2)} $$

Así, encontramos que la suma de dos sumas es igual a los residuos en los polos... bla, bla, bla. Pero no la suma que buscas.

Answer 3

Este es un comentario largo. ¿Qué significa evaluar? Observar que $$\frac{1}{(n+1)(n+2)^3}=(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\frac{1}{(n+2)^2}$$ $$=-\frac{1}{(n+2)^3}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+2)^2}$$ Así que su respuesta implicará de un modo u otro $\zeta(3)$ . Supongo que lo que quieres es una interpretación de la suma como integral de contorno.