Encontrar todos los enteros positivos $k,m,n$ satisfacción: $\frac1k+\frac1m+\frac1n=\frac{1}{1996}$

Question

Encontrar todos los enteros positivos $k,m,n$ satisfacción: $\frac1k+\frac1m+\frac1n=\frac{1}{1996}$

El trivial respuesta es: $k=m=n=3*1996$
$kmn=1996(km+mn+nk)=499\times4\times(km+mn+nk)$ , ahora $kmn$ debe ser divisible por todos los factores en la RHS , pero ¿cómo podemos obtener más información acerca de la $k,m,n$ ?

Answer 1

Sólo las soluciones para $k=m$.

Suponga $k=m$,, a continuación, $\frac{1}{1996}=\frac{2n+m}{mn}$ o $mn=1996\cdot 2n + 1996m$ o $$mn - 1996\cdot 2n - 1996\cdot m =0$$

or $$(n-1996)(m-1996\cdot 2)=2\cdot 1996^2$$

or:

$$(n-1996)(m-1996\cdot 2)=2\cdot 1996^2.$$

If $d\mid 2\cdot 1996^2$ then $n=1996+d$ and $m-1996\cdot 2 = \frac{2\cdot 1996^2}{d}$ or $m=1996\cdot 2 + \frac{2\cdot 1996^2}{d}$.

Since $1996=2^2\cdot 499$, then $d\mid 2^5\cdot 499^2$, which yields already 18 possible solutions.

The extreme case, when $d=1$, gives $n=1997$ and $m=k=2\cdot 1996 \cdot 1997$. When $d=2\cdot 1996^2$, $n=1996(1+2\cdot 1996)$ and $m=k=1996\cdot 2 + 1$.

Algorithm for finding all soluions

If you assume $k<m,n$, then $1996<k<3\cdot 1996$, and you want:

$$\frac{k-1996}{1996k}=\frac{1}m+\frac1n$$

Or $$(k-1996)^2mn - 1996k(k-1996)(m+n)$$

or $$\left((k-1996)m-1996k\right)\left((k-1996)n-1996k\right)=1996^2k^2$$

So you need to find a divisor $d\mediados de 1996^2k^2$ where both $k-1996\mediados de la d+1996k$ and $k-1996\mid \frac{1996^2k^2}{d}+1996k$, or if:

$$k-1996\mid d+1996^2\\k-1996\mid \frac{1996^2k^2}{d}+1996^2$$

We could write a computer program to enumerate such pairs $(k,d)$ pretty easily, and then solve for $m,n$.

My ruby script turned up 1517 answers, assuming $k\leq m\leq n$, which turns out to be too large for Stack Exchange to handle as raw data, but here is the complete list of $(k,m)$ pares.

1997 3986013
1997 3986014
1997 3986016
1997 3986020
1997 3986028
1997 3986511
1997 3987010
1997 3988008
1997 3990004
1997 3993996
1997 4235013
1997 4484014
1997 4982016
1997 5978020
1997 7970028
1997 3988009
1997 3990006
1997 3994000
1997 4001988
1997 4017964
1997 4982515
1997 5979018
1997 7972024
1998 1994005
1998 1994006
1998 1994008
1998 1994012
1998 1994020
1998 1994503
1998 1995002
1998 1996000
1998 1997996
1998 2001988
1998 2243005
1998 2492006
1998 2990008
1998 3986012
1998 1994007
1998 1994010
1998 1994016
1998 1994028
1998 1994052
1998 1995501
1998 1996998
1998 1999992
1998 2005980
1998 2017956
1998 2741007
1998 3488010
1998 1994013
1998 1994022
1998 1994040
1998 1994076
1998 1994148
1998 1998495
1998 2002986
1998 2011968
1998 2029932
1998 2065860
1998 1994031
1998 1994058
1998 1994112
1998 1994220
1998 1994436
1998 2007477
1998 2020950
1998 2047896
1998 2101788
1998 2209572
1998 1994085
1998 1994166
1998 1994328
1998 1994652
1998 1995300
1998 2034423
1998 2074842
1998 2155680
1998 2317356
1998 2640708
1998 1994247
1998 1994490
1998 1994976
1998 1995948
1998 1997892
1998 2115261
1998 2236518
1998 2479032
1998 2964060
1998 3934116
1998 1994733
1998 1995462
1998 1996920
1998 1999836
1998 2005668
1998 2357775
1998 2721546
1998 3449088
1998 1994041
1998 1994078
1998 1994152
1998 1994300
1998 1994596
1998 2012467
1998 2030930
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1998 2141708
1998 2289412
1998 1994115
1998 1994226
1998 1994448
1998 1994892
1998 1995780
1998 2049393
1998 2104782
1998 2215560
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1998 1994670
1998 1995336
1998 1996668
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1998 3323340
1998 1995003
1998 1996002
1998 1998000
1998 2001996
1998 2009988
1998 2492505
1998 2991006
1998 3988008
1998 1997001
1998 1999998
1998 2005992
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1998 2011986
1998 2029968
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1998 2137860
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1998 2047950
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1998 2425572
1998 1995373
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1998 2104893
1998 2215782
1998 2437560
1998 2881116
1998 3768228
1998 2326671
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1998 3324672
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1999 1330004
1999 1330334
1999 1331332
1999 1496002
1999 1994004
1999 1331334
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2001 1247001
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2002 666160
2002 666644
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2002 988020
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