Formas cerradas extrañas para funciones hipergeométricas

Question

Así que en el proceso de tratar de encontrar una derivación para este respuesta, surgieron las siguientes igualdades interesantes (se puede comprobar con Wolfram Alpha/Mathematica):

$$\frac{8\sqrt{2}G^4}{5\pi^2} \left(\left(7 \sqrt{2}-10\right) \beta +5 \left(\sqrt{2}-2\right)\right) = -\pi/2,\tag1$$

$$-\frac{4}{3} \left(\alpha\left(\sqrt{2}-1\right)^2 +6 \ln \left(\sqrt{2}-1\right)\right) = 7\ln 2 - \ln(17-12\sqrt{2})-\pi/2,\tag2$$

donde $G = \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)$ , $\alpha = {}_3F_2\left(1,1,\frac{5}{4};\frac{7}{4},2;3-2\sqrt{2}\right)$ y $\beta = {}_3F_2\left(1,\frac{3}{2},\frac{7}{4};\frac{9}{4},\frac{5}{2};3-2\sqrt{2}\right)$ .

Haciendo alguna simplificación y resolviendo te lo dirá:

$${}_3F_2\left(1,1,\frac{5}{4};\frac{7}{4},2;3-2\sqrt{2}\right) = \frac{3}{4}\cdot\frac{\pi/2-7\ln{2}-4\ln(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^2},\tag4$$

$${}_3F_2\left(1,\frac{3}{2},\frac{7}{4};\frac{9}{4},\frac{5}{2};3-2\sqrt{2}\right) = \frac{5}{4}\cdot\frac{(\pi/2)^3-4(\sqrt{2}-1)G^4}{G^4(\sqrt{2}-1)^3}.\tag5$$

Es muy extraño que, aparte de la función Gamma valorada en 3/4, éstas resulten formas cerradas (relativamente) agradables. Supongo que son el resultado de integrales, pero no tengo ni idea de cuáles podrían ser esas integrales. Mathematica no llega a ninguna parte con las funciones hipergeométricas, así que estoy un poco atascado.

Nota: $(\sqrt{2}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$ . Ese último número parece salir, más o menos, en el resultado de la forma cerrada de las funciones hipergeométricas, pero no consigo ubicar por qué.

EDIT: He aquí algunas formas de describir ambas funciones simultáneamente, que pueden ayudar de alguna manera:

${}_3F_2\left(a,b,c;c+\frac{1}{2},b+1;z\right)$ , ${}_3F_2\left(a,b,c;c+\frac{1}{2},a+b;z\right)$ , ${}_3F_2\left(a,b,b+\frac{1}{4};a+b-\frac{1}{4},a+b;z\right)$ , ${}_3F_2\left(1,a,a+\frac{1}{4};a+\frac{3}{4},a+1;z\right)$

Answer 1

Voy a cubrir sólo conjeturas $(4)$ . Podemos utilizar funciones elípticas para demostrar que es cierto.

Para simplificar la configuración, adoptaremos todas las convenciones y notación como en esta respuesta .
Para $x \in (0, 1)$ , dejemos que $F(x) = x _3F_2(1,1,\frac54;2,\frac74;x)$ tenemos

$$ F(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{k+1}}{k+1}\frac{(\frac54)_k}{(\frac74)_k} = \frac{\Gamma(\frac74)}{\Gamma(\frac12)\Gamma(\frac54)} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{k+1}}{k+1}\int_0^1 t^{\frac14+k}(1-t)^{-\frac12}dt\\ = -\frac{3}{2\sqrt{2}\omega}\int_0^1 \log(1-xt) t^{-\frac34}(1-t)^{-\frac12} dt $$ Sea $x = \alpha^2$ , $\beta = \frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ y sustituir $t$ por $\left(\frac{p-\frac12}{p + \frac12}\right)^2$ y luego $p$ por $\wp(z)$ tenemos:

$$\begin{align} F(\alpha^2) &= -\frac{3}{\omega}\int_{\infty}^{\frac12} \log\left[(1-\alpha^2)\frac{(p+\frac12\beta)(p+\frac12\beta^{-1})}{(p+\frac12)^2}\right] \frac{dp}{\sqrt{4p^3-p}}\\ &= -\frac{3}{2\omega}\int_{-\omega}^\omega \log\left[(1-\alpha^2)\frac{(\wp(z)+\frac12\beta)(\wp(z)+\frac12\beta^{-1})}{(\wp(z)+\frac12)^2}\right] dz \end{align}\tag{*1} $$ Aviso $1 - (\sqrt{2}-1)^2 = 2 (\sqrt{2}-1)$ conjetura $(4)$ puede reescribirse como

$$F((\sqrt{2}-1)^2) \stackrel{?}{=}\frac34\left[ \frac{\pi}{2} - 3\log 2\right] - 3 \log\left[1 - (\sqrt{2}-1)^2\right]$$ Compárese con $(*1)$ , nos encontramos con la conjetura $(4)$ es equivalente a

$$\frac{1}{2\omega}\int_{-\omega}^\omega \log\left[\frac{(\wp(z)+\frac12\beta)(\wp(z)+\frac12\beta^{-1})}{(\wp(z)+\frac12)^2}\right] dz \stackrel{?}{=}\frac{1}{4}(3\log 2 - \frac{\pi}{2})\tag{*2} $$ cuando $\alpha = \beta = \sqrt{2}-1$ .

Como en la otra respuesta, podemos expresar el lado derecho de $(*2)$ utilizando la función sigma de Weierstrass. Antes de hacerlo, me gustaría señalar

$$\left(\frac{d}{dz}\wp(z)\right) ^2 = 4 \wp(z)^3 - \wp(z)^3 \;\;\implies\;\; \left(\frac{d}{dz}\frac{1}{4\wp(iz)}\right)^2 = 4 \left(\frac{1}{4\wp(iz)}\right)^3 - \left(\frac{1}{4\wp(iz)}\right) $$ Una consecuencia de esto es que si elegimos un $\rho$ tal que $\wp( \pm ( \omega' + \rho) ) = -\frac12\beta$ entonces $$\wp(\pm ( \omega' + i\rho)) = \wp(\pm( \omega' - i\rho)) = -\frac12\beta^{-1} \quad\text{ and }\quad\wp( \pm( \omega' - \rho)) = -\frac12\beta$$

En $\alpha = \beta = \sqrt{2}-1$ podemos elegir $\rho = \frac{\omega}{2}$ . El lado derecho de $(*2)$ se convierte en

$$\frac{1}{2\omega}\int_{-\omega}^{\omega} \left\{ \sum_{k=0}^3\log\left[ \frac{\sigma(z + \omega' + i^k\rho)}{\sigma(\omega' +i^k\rho))} \right] - 4 \log\left[ \frac{\sigma(z + \omega')}{\sigma(\omega')} \right] \right\} dz$$

Se puede realizar el mismo análisis que en mi otra respuesta jugando con $\varphi_{\pm}(\tau)$ funciones. Debido a la simetría de $\wp(z)$ alrededor del punto $z = \omega' = i\omega$ sus contribuciones se anularán entre sí. El resultado neto es

$$\text{RHS}[*2] = \log\left[\frac{\sigma(\omega')^4}{\prod_{k=0}^3\sigma(\omega' + i^k\rho))}\right]\tag{*3}$$

Para funciones elípticas de Weierstrass con $g_2, g_3$ sabemos

$$\begin{cases} \wp'(z) &= -\frac{\sigma(2z)}{\sigma(z)^4}\\ \sigma(z+2\omega) &= -e^{2\eta(z+\omega)}\sigma(z)\\ \sigma(z+2\omega') &= -e^{2\eta'(z+\omega')}\sigma(z) \end{cases}$$

Esto implica $$\sigma(z+\omega)^4 = -\frac{\sigma(2z+2\omega)}{\wp'(z+\omega)} = e^{2\eta(2z+\omega)}\frac{\sigma(2z)}{\wp'(z+\omega)} \quad\implies\quad \sigma(\omega)^4 = e^{2\eta\omega}\frac{2}{\wp''(\omega)}$$ En nuestro caso $(g_2,g_3) = (1,0)$ sabemos $\eta = \frac{\pi}{4\omega}$ Esto conduce a $\sigma(\omega) = e^{\frac{\pi}{8}}\sqrt[4]{2}$ . Déjame llamar a este número $\Omega$ .

En $g_3 = 0$ los dobles polos de $\wp(z)$ forma una red cuadrada. Esta simetría cuádruple alrededor del origen nos da $\sigma(i\omega) = i\sigma(\omega) = i\Omega$ .

El valor de las funciones sigma en otros puntos de $(*3)$ puede deducirse de manera similar:

$$\begin{align} \left|\sigma\left(\frac{\omega'}{2}\right)\right| &= \left|\frac{\sigma(\omega')}{\wp'(\frac{\omega'}{2})}\right|^{1/4} = \left(\frac{\Omega}{\sqrt{2}+1}\right)^{1/4}\\ \left|\sigma\left(\frac{3\omega'}{2}\right)\right| &= \left|e^{\eta'\omega'}\sigma\left(-\frac{\omega'}{2}\right)\right| = e^{\pi/4}\left(\frac{\Omega}{\sqrt{2}+1}\right)^{1/4}\\ \left|\sigma\left(\omega'\pm\frac{\omega}{2}\right)\right| &= \left|\frac{\sigma\left(2\omega'\pm\omega\right)}{\wp'(\omega'\pm\frac{\omega}{2})}\right|^{1/4} = \left|e^{2\eta'(\omega'\pm\omega)}\frac{\Omega}{\sqrt{2}-1}\right|^{1/4} = e^{\pi/8}\left(\frac{\Omega}{\sqrt{2}-1}\right)^{1/4} \end{align}$$

Combinando todo esto, encontramos

$$\text{RHS}[*2] = \log\left(\frac{\Omega^4}{e^{\pi/2}\Omega}\right) = 3\log\Omega - \frac{\pi}{2} = 3\left(\frac14\log 2 + \frac{\pi}{8}\right) - \frac{\pi}{2} = \frac14\left(3\log 2 - \frac{\pi}{2}\right)$$

es decir Conjetura $(4)$ es cierto.

Actualización

Resulta que existe una relación algebraica más limpia entre la función hipergeométrica en la conjetura $(4)$ y funciones elípticas. Utilización de la fórmula de adición de la función sigma:

$$\wp(z)-\wp(u) = - \frac{\sigma(z+u)\sigma(z-u)}{\sigma(z)^2\sigma(u)^2}$$

Encontramos $$\frac{\sigma(\omega')^4}{\prod_{k=0}^3\sigma(\omega'+ i^k\rho)} =\left(\frac{1}{\sigma(\rho)^2(\wp(\omega')-\wp(\rho))}\right) \left(\frac{1}{\sigma(i\rho)^2(\wp(\omega')-\wp(i\rho))}\right) $$

Aviso $$\begin{cases} \wp(\omega'\pm\rho) &= -\frac12\beta\\ \wp(\omega'\pm i\rho) &= -\frac12\beta^{-1} \end{cases} \quad\implies\quad \begin{cases} \wp(\pm \rho) &= \frac{1}{2\alpha}\\ \wp(\pm i\rho) &= -\frac{1}{2\alpha}\\ \end{cases} $$ Obtenemos $$\frac{\sigma(\omega')^4}{\prod_{k=0}^3\sigma(\omega'+ i^k\rho)} = \frac{4\alpha^2}{\sigma(\rho)^4(1-\alpha^2)} $$ Lo que en términos implica una simple relación entre $F(\alpha^2)$ y $\sigma(\rho)$ :

$$_3F_2\left(1,1,\frac54; 2,\frac74; \alpha^2\right) = \frac{F(\alpha^2)}{\alpha^2} = \frac{12}{\alpha^2}\log\left(\frac{\sigma(\rho)}{\sqrt{2\alpha}}\right)$$

En $\alpha = \sqrt{2}-1$ , $\rho = \frac{\omega}{2}$ y puesto que $\sigma(\frac{\omega}{2}) = \left(\frac{\Omega}{\sqrt{2}+1}\right)^{1/4}$ , nosotros de nuevo obtenemos

$$_3F_2\left(1,1,\frac54; 2,\frac74; (\sqrt{2}-1)^2\right) = \frac{3}{(\sqrt{2}-1)^2}\log\left(\frac{e^{\pi/8}\sqrt[4]{2}}{(\sqrt{2}+1)4(\sqrt{2}-1)^2}\right) = \frac{3}{4(\sqrt{2}-1)^2}\left[\frac{\pi}{2} - 7\log 2 - 4\log(\sqrt{2}-1)\right] $$

Configuración $\rho$ a otros múltiplos racionales de $\omega$ podemos deducir un montón de identidades similares. Por ejemplo,

1. En $\rho = \omega$ está claro $\alpha = 1$ y $\sigma(\omega) = \Omega$ Esto conduce a $$ _3F_2\left(1,1,\frac54; 2,\frac74; 1\right) = 12\log\left(\frac{\Omega}{\sqrt{2}}\right) = \frac32\left(\pi- 2\log 2\right) $$
2. En $\rho = \frac{2\omega}{3}$ se puede utilizar la fórmula de triplicación de la función sigma $$\frac{\sigma(3z)}{\sigma(z)^9} = 3\wp(z)\wp'(z)^2 - \frac14 \wp''(z)^2$$ mostrar $$\alpha = \sqrt{2\sqrt{3}-3} \quad\text{ and }\quad \sigma\left(\frac{2\omega}{3}\right) = e^{\pi/18} 3^{1/8} (2-\sqrt{3})^{1/12}$$ Esto conduce a la identidad $$_3F_2\left(1,1,\frac54; 2,\frac74; 2\sqrt{3}-3\right) = \frac{1}{2\sqrt{3}-3}\left(\frac{2\pi}{3} - 6\log 2 - 2\log(2-\sqrt{3})\right) $$