¿Existe una ordenación bien conocida de los reales?

Question

Así que, por lo que tengo entendido, el axioma de elección equivale a la afirmación de que todo conjunto puede ser bien ordenado . Un conjunto está bien ordenado por una relación, $R$ si cada subconjunto tiene un elemento mínimo. Mi pregunta es: ¿Alguien ha construido una ordenación bien en los reales?

Primero, iba a hacer esta pregunta sobre los racionales, pero luego me di cuenta de que si eliges tu biyección favorita entre los racionales y los enteros, esto determina un orden de pozo en los racionales a través del orden de pozo natural en $\mathbb{Z}$ . Así que no es la densidad de los reales lo que hace difícil ordenarlos bien. Entonces, ¿es sólo la talla de $\mathbb{R}$ que hace difícil encontrar una orden de pozo para él? ¿Por qué?

Para reiterar:

• ¿Existe un orden de pozos conocido en los Reales?
• Si es así, ¿funciona una construcción similar para cardinalidades mayores?
• ¿Existe una cardinalidad máxima para la que funcione la construcción?

Answer 1

Supongo que conoces el teorema general de que, utilizando el axioma de elección, todo conjunto puede estar bien ordenado. Teniendo eso en cuenta, creo que estás preguntando lo difícil que es definir realmente el bien ordenado. Es una pregunta natural, pero resulta que la respuesta puede ser insatisfactoria.

Primero, por supuesto, sin el axioma de elección es consistente con la teoría de conjuntos ZF que haya no ordenando bien los reales. Así que no se puede escribir una fórmula de la teoría de conjuntos similar a la fórmula cuadrática que defina "obviamente" un orden de pozos. Cualquier fórmula que defina un buen orden de los reales va a requerir una prueba no trivial para verificar que es correcta.

Sin embargo, ni siquiera existe una fórmula que defina inequívocamente un ordenamiento bien de los reales en ZFC.

• El teorema de la "determinancia de Borel" implica que no existe ningún ordenamiento bien de los reales cuyo grafo sea un conjunto de Borel. Esto es demostrable en ZFC. La hipótesis más fuerte de la "determinancia proyectiva" implica que no existe ningún pozo de ordenación de los reales definible por una fórmula en la jerarquía proyectiva. Esto es consistente con ZFC pero no demostrable en ZFC.

• Peor aún, es incluso coherente con ZFC que no fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos define una ordenación bien de los reales (aunque exista una). Es decir, existe un modelo de ZFC en el que ninguna fórmula define un orden de los reales.

Un teórico de conjuntos podría explicarle mejor estos resultados. Están en la bibliografía de teoría de conjuntos, pero no en la de licenciatura.

He aquí un resultado positivo. Si trabaja en $L$ (es decir, se asume el axioma de constructibilidad) entonces se conoce una fórmula específica que define bien una ordenación de los reales en ese contexto. Sin embargo, el axioma de constructibilidad no es demostrable en ZFC (aunque es consistente con ZFC), y la fórmula en cuestión no define una ordenación correcta de los reales en modelos arbitrarios de ZFC.

Un segundo resultado positivo, para la definibilidad relativa. Observando la prueba estándar del principio de ordenación de pozos (la prueba de Zermelo), vemos que existe una única fórmula $\phi(x,y,z)$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos tal que si tenemos cualquier función de elección $F$ en el conjunto de potencias de los reales, entonces la fórmula $\psi(x,y) = \phi(x,y,F)$ define un buen ordenamiento de los reales, en cualquier modelo de ZF que tenga tal función de elección. Informalmente, esto dice que la razón por la que la prueba habitual no puede construir explícitamente un orden de pozo es porque no podemos construir explícitamente la función de elección que la prueba toma como entrada.

Answer 2

No, no es sólo el tamaño. Se puede demostrar constructivamente la existencia de grandes conjuntos bien ordenados, pero por ejemplo incluso cuando se tiene la primer ordinal incontable en la mano, no se puede demostrar que está en biyección con $\mathbb{R}$ sin la hipótesis del continuo.

Toda la dificultad del problema tiene que ver con lo que entiendes por "construido". Si uno tiene un bien ordenado en $\mathbb{R}$ entonces es posible llevar a cabo la construcción de un Conjunto Vitali que es un subconjunto no medible de $[0, 1]$ . Y se sabe que la existencia de subconjuntos no medibles de $\mathbb{R}$ es independiente de ZF. En otras palabras, es imposible escribir un buen ordenamiento de $\mathbb{R}$ en ZF.

Por otra parte, dado AC, es obvio que se puede escribir una ordenación de forma no constructiva (elegir el primer elemento, luego el segundo, luego...). Aunque probablemente no es esto lo que querías decir con "construir".