Cómo demostrar encontrar este valor $|AD|+|DF|+|FA|=2$

Question

Pregunta:

si $ADB$ e $ACE$ son líneas rectas con $D,E$ e $B,C$ se intersecan en la $F$.

si $$|AB|=|AC|=1,|AD|+|DE|+|EA|=4$$

demostrar que:

$$|AD|+|DF|+|FA|=2$$

He leído este famoso Urquhart del Teorema,decir que este si $$|AD|+|DF|=|AC|+|CF|\Longrightarrow |AB|+|BF|=|AE|+|EF|$$ pero yo uso este resultado también puede resolver este problema.y usted puede cayeron este problema es muy interesante? Después de mi alguna idea,

desde $$|AD|+|DE|+|EA|=|AD|+|DF|+|FE|+|AE|=4$$ así $$\Longrightarrow |AD|+|DF|=4-|AE|-|EF|$$ Nota: $$|AC|+|CF|=1+|CF|$$ Si queremos utilizar Urquhart del Teorema,entonces debemos demostrar que sigue es la derecha $$4-|AE|-|EF|=1+|CF|\Longleftrightarrow |AE|+|EF|+|CF|=3\Longleftrightarrow |CE|+|EF|+|CF|=2$$ Pero me caí utilizar esta condición no puede probarlo

Answer 1

Vamos a añadir la excircle de $\triangle ADE$ a la imagen. $X, Y$ e $G$ son los puntos tangentes.

$AX$ es igual a semiperimeter de $\triangle ADE$ lo $AX = AY = 2$.

Por otra parte, $AB = AC = 1$ lo $B$ e $C$ están en el medio de los puntos de $AX$ e $AY$ respectivamente. Por lo tanto $BC$ es el eje radical de que excircle y punto de $A$. Por lo $FA = FG$.

Finalmente, su suma se convierte en $AD + DF + \color{green}{FA} = AD + DF + \color{green}{FG} = AD + DG = AD + DX = AX = 2$.

Answer 2

Puede utilizar los números complejos para resolver este problema. El cálculo es un poco complicado. Sin pérdida de generalidad, vamos a $$ A=0, B=1, C=e^{i\theta}, D=d, E=ae^{i\theta}. $$ Aquí $\theta>0, 0<d<1, a>1$. Sine $F$ es la intersección de los segmentos $BC$ e $DE$, tenemos $$ F=(1-s)B+sC=(1-t)D+tE. $$ Separando la parte real de la parte imaginaria, tenemos $$ (1-s)+s\cos\theta=(1-t)d+ta\cos\theta, s\sin\theta=ta\sin\theta $$ a partir de la cual obtenemos $$ t=\frac{1-d}{a-d}, s=\frac{a(1-d)}{a-d}. $$ Por lo tanto $$ F=\frac{(a-1) d+a (1-d) \cos\theta}{a-d}+i\frac{a (1-d) \sin\theta}{a-d}. $$ De $|AD|+|DE|+|EA|=4$, tenemos $$ a+d+\sqrt{a^2-2ad\cos\theta+d^2}=4. $$ Así obtenemos $$ a=\frac{4(2-d)}{4-d-d\cos\theta}. \tag{1}$$ Así \begin{eqnarray} &&|AD|+|DF|+|FA|\\ &=&d+|F|+|D-F|\\ &=&d+\frac{(1-d)\sqrt{a^2-2ad\cos\theta+d^2}}{a-d}+\frac{\sqrt{d^2-2ad+a^2(1-2d+2d^2)+2(1-a)a(d-1)d\cos\theta}}{a-d}.\tag{2} \end{eqnarray} Ahora usando (1) para sustituir a $a$ en (2), obtenemos $$ |AD|+|DF|+|FA|=2. $$