Los diferenciales de la no-suave funciones, cuña de productos de corrientes?

Question

En un papel de McMullen considera foliaciones en un colector determinado por un cerrado 1 formulario a -$\rho$. Él dice que un $L^\infty$ función de $f$ es constante en las hojas de la foliación si "$df \wedge \rho = 0$ como actual," y estoy teniendo un tiempo difícil distraerse exactamente lo que está sucediendo con las corrientes (que no estoy muy familiarizado con).

Mi entendimiento es que las corrientes son funcionales en formas diferenciales, y dada una función de $f$ podemos definir una corriente en $n$-formularios (para un $n$-dimensiones del colector) mediante la integración de $f$ veces $n$-forma. Del mismo modo, la 1-forma $\rho$ define una corriente en el $(n-1)$-formas mediante la integración de la cuña de la forma con $\rho$. Pero, qué pasa con $df \wedge \rho$? Me sale que podemos definir un diferencial de una corriente por $[dT](\omega) = T(d\omega)$, por lo que supongo que $df$ se refiere a la corriente en $n-1$ de las formas que envía a $\omega \mapsto \int f d\omega$, pero, ¿cómo es la cuña con $\rho$ definido?

Mi única suposición es que la $df \wedge \rho$ es una corriente que actúa en $(n-2)$ formularios de envío de $\omega \mapsto \int f \cdot (d\omega \wedge \rho)$. Incluso si eso es correcto, ¿por qué no $f$ siendo constante en las hojas implica esta corriente es cero? Me parece extraño que las funciones constantes sobre las hojas de la foliación determinado por $\rho$, que han codimension $1$, puede ser expresada en términos de $n-2$ formas.

Answer 1

En primer lugar, cuando $f$ es suave, sabemos que $df$ es un (funcional) de varios de $\rho$ (por ejemplo, debido a que el gradiente es ortogonal a nivel hypersurfaces).

Si $T$ es una corriente que actúa en $k$-formas y $\phi$ es $\ell$-forma (con $\ell\le k$), a continuación, $T\wedge\phi$ se define como la corriente que actúa en $(k-\ell)$-formularios suministrados por $(T\wedge\phi)(\omega) = T(\phi\wedge\omega)$ cualquier $(k-\ell)$forma $\omega$. Así que es verdad que el $df\wedge\rho$ es dado como una corriente por $$(df\wedge\rho)(\omega) = df(\rho\wedge\omega) = f\big(d(\rho\wedge\omega)\big) = -f(\rho\wedge d\omega),$$ desde $d\rho = 0$.

Como un comentario filosófico, uno piensa a menudo de $(n-k)$-corrientes (que actúan en $k$-formas) como $(n-k)$-formas localmente integrable (en contraposición a la suave) de los coeficientes.

Si $f$ es suave, a continuación, tenga en cuenta que $\int_M f\rho\wedge d\omega = \int_M d(f\rho\wedge\omega) = 0$ (debido a $\partial M = \emptyset$ o debido a $\omega$ tiene soporte compacto, de cualquier manera por el Teorema de Stokes).

A ver lo que está pasando en general, por Frobenius, podemos elegir coordenadas locales $(x^1,\dots,x^n)$, de modo que $\rho = dx^n$. Se sigue de la hipótesis, por otra parte, que el $f=f(x^n)$. Por un habitual de la partición de la unidad argumento, podemos suponer $\omega$ tiene soporte compacto en nuestro coordinar gráfico de $U$. De trabajo de mod $dx^n$, podemos tomar la $\omega = \sum\limits_{i=1}^{n-1} g_i dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\dots\wedge dx^{n-1}$, por lo que el $d\omega = \sum \dfrac{\partial g_i}{\partial x^i} dx^1\wedge\dots\wedge dx^{n-1}$ (nuevo mod $dx^n$). Como la prueba usual de la del Teorema de Stokes, nota ahora que $$\int_U f\rho d\omega = \pm\int_U f(x^n)\sum \frac{\partial g_i}{\partial x^i} dx^1\wedge\dots\wedge dx^n.$$ Ahora aplicar Fubini: Para el $i$th plazo, integramos primero con respecto a $dx^i$, observando que el hecho de que $f=f(x^n)$ nos permite sacar fuera de la integral; por compacto de apoyo en $U$, obtenemos $0$ por cada término.