Probabilidad de 0% decisiones correctas

Question

Si tengo 12 cajas, con el fin de la #1 a la #12, y cierro los ojos y me pegue un conocido de la etiqueta (a-L) en un azar de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que me da cero etiquetas correctas en los cuadros correspondientes?

En otras palabras, después de seguir todas las etiquetas en las cajas, no una sola caja tiene la etiqueta correcta en él.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es $\approx 0.3678794$.

Su pregunta en su forma general puede ser visto como una simple aplicación del concepto de alteración (no la condición psicológica) fueron queremos hallar la probabilidad de que un seleccionados al azar de permutación es una alteración. Para citar directamente de Wikipedia sobre esto: "un trastorno es una permutación de los elementos de un conjunto, de tal manera que ningún elemento aparece en su posición original." Por lo tanto, lo que queremos es simplemente el cociente de posibles alteraciones sobre el número total de permutaciones posibles de una secuencia dada (de las etiquetas en su caso). Esta relación converge a $\frac{1}{e}$ bastante rapidez, por lo que también puede ser aproximada por un determinado $n$ por $\sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}$ (o, simplemente, sum((-1)^(0:n) / factorial(0:n)) en R). Es fácil de evaluar esta expresión para $n=12$ y consigue $0.3678794$. La página de la Wikipedia sobre la permutación aleatoria de estadísticas tiene una mayor alteración asociada a la diversión de los hechos.

Solo para poner algo de código detrás de este anexo un muy simple script haciendo exactamente la asignación al azar se describió y, a continuación, el trazado de la estima simulado probabilidades y la relación asintótica $1/e$.

oneExperiment <- function(K){
  myLabels = sample(letters[1:K], replace = FALSE, size = K );
  trueLabels = sample(letters[1:K], replace = FALSE, size = K)
  # print(myLabels); print(trueLabels)
  all( myLabels != trueLabels)
}

set.seed(55)
dPr = sapply(2:23, function(L) { 
       mean(sapply(1:(2^16), function(x){ K = L;  oneExperiment(K) } ) ) } )
plot(2:23,y = dPr, panel.first = grid(), ylab = 'Prob. of Derangement')
abline(h = 1/exp(1)) # Add asymptotic limit line