¿Cómo funciona el átomo de hidrógeno saber que frecuencias se puede emitir fotones?

Question

En la universidad, se muestra la Ecuación de Schrödinger, y cómo resolverlo, incluyendo en el $1/r$ potencial, modelar el átomo de hidrógeno.

Y fue entonces afirmó que las diferencias entre los valores propios del operador estaban permitidas las frecuencias de los emite y absorbe los fotones.

Este cálculo está de acuerdo con los medidos experimentalmente las líneas espectrales, pero ¿por qué habríamos de esperar que sea cierto, incluso si aceptamos que el electrón se mueve de acuerdo a la ecuación de Schrödinger?

Después de todo, no hay ninguna razón particular para un electrón en un eigenstate.

Qué iba a hacer a la gente pensar que era algo más que una (muy sugerente) coincidencia?

Answer 1

Este cálculo está de acuerdo con los medidos experimentalmente las líneas espectrales, pero ¿por qué habríamos de esperar que sea cierto, incluso si aceptamos que el electrón se mueve de acuerdo a la ecuación de Schrödinger? Después de todo, no hay ninguna razón particular para un electrón en un eigenstate.

Buena pregunta! La función de $\psi$ no necesita ser Hamiltoniano eigenfunction. Cualquiera que sea la inicial $\psi$, y cualquiera que sea el método utilizado para encontrar el futuro $\psi(t)$, el tiempo-dependiente de la ecuación de Schroedinger $$ \partial_t \psi = \frac{1}{i\manejadores}\hat{H}\psi $$ implica que el átomo se irradian ondas EM con espectro bruscamente alcanzó su punto máximo en las frecuencias dadas por la famosa fórmula $$ \omega_{mn} = \frac{E_m-E_n}{\manejadores}, $$

donde $E_m$ son los autovalores del Hamiltoniano $\hat{H}$ del átomo.

Aquí es por qué. La radiación de frecuencia está dada por la frecuencia de oscilación de la media esperada eléctricos momento del átomo

$$ \boldsymbol{\mu}(t) = \int\psi^*(\mathbf r,t) q\mathbf r\psi(\mathbf r,t) d^3\mathbf r $$ El tiempo de evolución de $\psi(\mathbf r,t)$ es determinado por el Hamiltoniano $\hat{H}$. La manera más simple para encontrar el valor aproximado de $\boldsymbol{\mu}(t)$ es expandir $\psi$ en funciones propias de $\hat{H}$ que depende del tiempo como $e^{-i\frac{E_n t}{\hbar}}$. Habrá muchos términos. Algunos son productos de una eigenfunction con sí mismo y la contribución de estos se desvanece. Algunos son productos de dos diferentes funciones propias. Estos últimos términos depende del tiempo como $e^{-i\frac{E_n-E_m}{\hbar}}$ y hacer $\boldsymbol{\mu}$ oscila a la frecuencia de $(E_m-E_n)/\hbar$. Schroedinger, explicó el Ritz combinación principio de esta manera, sin ningún tipo de saltos cuánticos o discreto de estados permitidos; $\psi$ cambia continuamente en el tiempo. La imperfección de esta teoría es que la función oscila indefinidamente y no es amortiguado; en otras palabras, esta teoría no tiene en cuenta para la emisión espontánea.

Answer 2

La idea aquí es cada vez más complejas en función de la profundidad en la física moderna quieres profundizar, sino también la clave para la comprensión de la mecánica cuántica. Así que, voy a dar un poco más de explicación de lo que parece que has visto, pero hay mucho más.

Se entiende que un fotón actúa como una partícula y una onda. Como una partícula que tiene una cantidad de energía asociada con ella, y como una onda tiene una longitud de onda y la frecuencia. Estos dos valores están directamente relacionados; usted puede saber el uno del otro.

Un buen primer experimento de pensamiento, es considerar una partícula en un hipotético unidimensional de la caja. Esto sólo puede rebotar hacia atrás y adelante a lo largo de una dirección y en un número finito de distancia. Asentarse en cualquiera de un número de cuantificada de los estados que tienen una longitud de onda que se "ajuste", como supongo que usted entiende a partir de sus estudios.

Extender la idea a un electrón, entonces, que se limita a la "órbita" el átomo. Se trata de tres dimensiones y las fuerzas involucradas no son infinitos posibles obstáculos, pero la idea de la partícula de la onda de instalarse en una frecuencia que "encaja" aún se mantiene.

Ahora, cuando un átomo absorbe o emite un fotón, la energía es absorbida o emitida por una de las cuantificada electrones, provocando que ganar o perder energía igual a la de los fotones. Puesto que el electrón sólo puede tener cantidades discretas de energía, podemos calcular la energía de los fotones emitidos!

Answer 3

Este cálculo está de acuerdo con los medidos experimentalmente las líneas espectrales, pero ¿por qué habríamos de esperar que sea cierto, incluso si aceptamos que el electrón se mueve de acuerdo a la ecuación de Schrödinger?

Su desconcierto surge debido a que están poniendo el carro delante del caballo. El carro es el modelo teórico de la mecánica cuántica y el caballo es el de datos. Como tu pregunta es migrado de las matemáticas.SE puede entender esta orientación, que es dominante también aquí.

El teórico general del paquete de la Mecánica Cuántica no llegó por un aparentemente santo inspiración ( como algunas teorías físicas que tienen que ver con las manzanas, que se dice haber sido), pero fue una lenta acumulación de observaciones que obligó a los físicos a pensar fuera de la caja de la matemática que se utiliza en la mecánica clásica y la termodinámica.

Todo comenzó con la tabla de los elementos, el efecto fotoeléctrico, la radiación de cuerpo negro, las líneas espectrales en los espectros atómicos. Todo esto podría no ser exprimido dentro de los modelos clásicos. Bohr intentado con su modelo.

El efecto fotoeléctrico se obligó a pensar en la luz como partículas, (una vez más , como Newton había propuesto partículas), los fotones.

Entonces era conocido y esperado en la clásica del electromagnetismo que una aceleración de electrones de perder energía en forma de radiación a la luz,( así que los fotones entran en cualquier radiación). Este sería un espectro continuo. Clásica de la mecánica clásica y el electromagnetismo no podían producir las líneas espectrales, porque por las ecuaciones clásicas de los electrones debe caer en el núcleo emite un espectro continuo en el campo de los protones, no de los distintos espectros de líneas que se observaron . Para Bohr postuló que los electrones se estaba quedando en órbitas con energía específica y sólo podía perder la energía de los fotones ( la clásica de la expectativa) en cuantificada pasos. Esto explica los fenómenos matemáticamente mediante el ajuste de la serie de líneas espectrales, pero no fue satisfactorio porque no dio el marco para las otras observaciones mencionadas anteriormente, de obligado estados , estados cuantizados de energía cambios en la atómica micro framework.

Después de todo, no hay ninguna razón particular para un electrón en un eigenstate.

Me explicó la razón en particular, si no fuera en una órbita estable no sería líneas espectrales para ser observada y no habría átomos, y estar aquí discutiendo esto en la forma física que tenemos.

Qué iba a hacer a la gente pensar que era algo más que una (muy sugerente) coincidencia?

Los postulados de la Mecánica Cuántica impuestas a la solución matemática de la ecuación de Schrödinger trajo la lógica y causal ruta de acceso al azar de los esfuerzos de un marco teórico, fuera de la caja de las teorías clásicas. Así que la apropiación de la ecuación diferencial que ahora se llama "ecuación de Schrödinger" para interpretar los datos no fue una coincidencia, pero un gran pensar fuera de la caja de las teorías clásicas. Mediante la imposición de la física postulados sobre la interpretación de las soluciones, el caso fortuito se ajusta de Bohr modelo de la serie podría entenderse como derivado de una formal matemático de la teoría física.

Answer 4

Conservación de la energía.

Si medimos la energía de un átomo, siempre vamos a informar de un autovalor, porque nos están obligando a una eigenstate (esto es algo así como la mecánica cuántica definición de la medición). Ahora supongamos que medimos la energía de un átomo en dos ocasiones, antes y después emite un fotón. Para la conservación de la energía, la energía del fotón debe ser la diferencia de los dos valores propios.

Puede ser que el átomo no es en un eigenstate exactamente cuando se emite el fotón, pero una de las emisiones con el nivel de energía no es una diferencia de autovalores produciría aparentes contradicciones tan pronto como hemos tratado de medir el cambio en la energía.

Answer 5

Tener de emisión (o absorción) de los fotones debe tener un Hamiltoniano que incluye los grados de libertad también. Si el sistema se compone de (a) el campo electromagnético y (b) un átomo de hidrógeno, puede especificar el estado con (a) para cada frecuencia, el número de fotones con que frecuencia, y (b) el estado del átomo de hidrógeno, en su forma favorita de, por ejemplo, $1s$ o $2p$. Podría escribir $\vert n_\omega=1, 1s\rangle$ para un estado con 1 fotón de frecuencia$\omega$, y el átomo en el estado 1s.

Para calcular la probabilidad de que una transición entre los estados de $\vert i\rangle$, lo que significa que no los fotones y el átomo de hidrógeno en estado inicial $i$, e $\vert n_\omega =1, f\rangle$ donde $f$ es algún estado final, es necesario calcular un producto interior como $$P = \langle n_\omega =1, f|O|i\rangle$$ donde $O$ es de algún operador. La probabilidad de que la transición es algo proporcional a $|P|^2$. La contribución más significativa viene desde el momento dipolar eléctrico del operador y este es un cálculo estándar en los libros de texto. El resultado es que el $P$ es proporcional a $$P\propto \frac{\sin(t(\omega + \omega_f - \omega_i)/2)}{(\omega + \omega_f - \omega_i)/2}$$ donde $\omega_f, \omega_i$ son los relacionados con la inicial y la final energías $\hbar\omega_f = E_f$ y de manera similar para $i$, e $t$ es el tiempo transcurrido. Claramente $P$ puede ser distinto de cero, incluso si la energía no se conserva.

Sin embargo, en el límite $t \to \infty$, $|P|^2$ enfoques algo proporcional a $t\delta(\omega + \omega_f - \omega_i)$ cuando la $\delta$ es una delta de Dirac. Esto es donde la conservación de la energía proviene de. La declaración de que los átomos emiten fotones sólo en frecuencias específicas es falsa si se toma literalmente, cada línea espectral viene con una anchura natural correspondiente a ese $P$ finitas $t$ es no-cero, incluso lejos de la $\Delta E = 0$.

Usted puede encontrar un detallado cálculo de $P$ en cualquier libro de texto sobre mecánica cuántica. He aprendido de Townsend es Un Enfoque Moderno de la Mecánica Cuántica, pero creo que usted encontrará este cálculo Sakurai o Griffiths libros también.