Acerca de la composición de Transversales Mapas

Question

Puede alguien darme una pista para probar el siguiente?

Si $f:M\rightarrow N$ e $g:N\rightarrow P$ se $C^{k}$ mapas y $g$ es transversal a una submanifold $S$ de $P$, entonces: $f$ es tranversal a $g^{-1}(S)$ si y sólo si $g\circ f$ es transversal a $S$.

Comentario: $h:A\rightarrow B$ es transversal do $W$ si $T_{h(p)}B=Dh_{p}(T_{p}A)+T_{h(p)}W$

Sólo he encontrado es como el ejercicio en los libros. Cualquier pista será de gran.

Gracias

Answer 1

Prueba:

• Suponga $f\pitchfork g^{-1}[S]$ e $g\pitchfork S$. Así que usted sabe que por cada $p \in M$ tenemos $T_{f(p)}N = {\rm d}f_p[T_pM] + T_{f(p)}g^{-1}[S]$. Se aplican ${\rm d}g_{f(p)}$ sobre todo para conseguir $${\rm d}g_{f(p)}[T_{f(p)}N] = {\rm d}g_{f(p)}[{\rm d}f_p[T_pM] + T_{f(p)}g^{-1}[S]] = {\rm d}(g\circ f)_p[T_pM] + {\rm d}g_{f(p)}[T_{f(p)}g^{-1}[S]]$$You also know that $T_{g(f(p))}P = {\rm d}g_{f(p)}[T_{f(p)}N] + T_{g(f(p))}S$. So add $T_{g(f(p))}S$ on both sides of the above to get $$T_{g(f(p))}P = {\rm d}(g\circ f)_p[T_pM] + {\rm d}g_{f(p)}[T_{f(p)}g^{-1}[S]] + T_{g(f(p))}S.$$However, it is easy to check that ${\rm d}g_{f(p)}[T_{f(p)}g^{-1}[S]] \subseteq T_{g(f(p))}S$. So we get that $$T_{g(f(p))}P = {\rm d}(g\circ f)_p[T_pM] + T_{g(f(p))}S,$$and so $(g\circ f)\pitchfork S$.

• Suponga que $(g\circ f) \pitchfork S$ e $g\pitchfork S$. Aquí necesitamos saber que $g \pitchfork S$ implica que $T_{f(p)}g^{-1}[S] = ({\rm d}g_{f(p)})^{-1}[T_{g(f(p))}S]$. Este es el Problema 6.10 en la página 148 de Lee Introducción a la Suave Colectores (2ª ed.). Con esto, tome $w \in T_{f(p)}N$. Por lo ${\rm d}g_{f(p)}(w) \in T_{g(f(p))}P$, e $(g\circ f)\pitchfork S$ nos da $v \in T_pM$ e $z \in T_{g(f(p))}S$ tales que $${\rm d}g_{f(p)}(w)= {\rm d}g_{f(p)}{\rm d}f_p(v) + z,$$so that $w - {\rm d}f_p(v) \in ({\rm d}g_{f(p)})^{-1}[T_{g(f(p))}S] = T_{f(p)}g^{-1}[S]$. Then $w = {\rm d}f_p(v) + z'$ with $z' \en T_{f(p)}g^{-1}[S]$, which shows that $$T_{f(p)}N = {\rm d}f_p[T_pM]+ T_{f(p)}g^{-1}[S]$$and hence $f \pitchfork g^{-1}[S]$, la conclusión de la prueba.

---

Comentario: una buena manera de recordar que, en general, $F:M\to N$ e $F\pitchfork X$ para $X$ incrustado en $N$ implica que $T_pF^{-1}[X]= ({\rm d}F_p)^{-1}(T_{F(p)}X)$ es utilizando el principio general de que la ecuación de definición de la tangente espacios para una submanifold se obtiene diferenciando la ecuación de definición del colector. Más precisamente, la ecuación de la definición de $F^{-1}(X)$ es $F(p)\in X$. "Diferenciar" los dos lados, a $p$ a describir $T_pF^{-1}[X]$ como ${\rm d}F_p(v)\in T_{F(p)}X$.