¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de subgrupos de$(\mathbb R, +)$?

Question

Deje $X$ el conjunto de los subgrupos de $(\mathbb R, +)$. ¿Qué es $|X|$?

Un intento de realizar una prueba de que $|X| = 2^{2^{\aleph_0}}$:

Claramente $|X| \le 2^{2^{\aleph_0}}$, debido a $X \subset P(\mathbb R)$. Para el límite inferior, vamos a $H$ ser una base de Hamel $\mathbb R$ sobre $\mathbb Q$. Desde $H$ es linealmente independiente sobre $\mathbb Q$ (y por tanto también más de $\mathbb Z$), cada subconjunto de $H$ genera un subgrupo distinto de $\mathbb R$. Desde $|H| = 2^{\aleph_0}$ (creo), el conjunto de todos estos grupos, a continuación, tiene cardinalidad $2^{|H|} = 2^{2^{\aleph_0}}$. Dado que este es un subconjunto de $X$, debemos tener $2^{2^{\aleph_0}}\le |X|$. Por lo tanto, $|X| = 2^{2^{\aleph_0}}$.

Hace este trabajo? También, hay una manera de probar esto que no es tan dependiente de la Elección (necesaria para la base de Hamel $\mathbb R$ y, posiblemente, algunos de los cardinalidad comparaciones)?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que hay un conjunto de tamaño $2^{\aleph_0}$ de los números reales, que es linealmente independiente sobre $\Bbb Q$, incluso sin el axioma de elección.

Luego de hacer la misma prueba como lo hizo, como es bien.

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Para la primera parte, ¿hay alguna uncountably conjunto infinito que no genera los reales? es de interés hacia una respuesta positiva.

Answer 2

Usted puede (no) modificar su prueba un poco para deshacerse de cualquier (obvio) uso de la opción.

Definir una relación de equivalencia en $\mathbb R$ por $x \sim y \iff x-y \in \mathbb Q$. Este particiones $\mathbb R$ en clases de equivalencia de la forma $[x] = x + \mathbb Q = \{x+q: q \in \mathbb Q\}$. Es fácil ver que cada una de las $[x]$ es un subgrupo de $\mathbb R$.

Desde $\mathbb Q$ es contable para cada clase de equivalencia. Escribir $(\mathbb R/\sim)$ para la colección de clases de equivalencia. Observe $\bigcup (\mathbb R/\sim)$ es un discontinuo de la unión de conjuntos contables. Así que el sindicato tiene cardinalidad $|\mathbb N| \times |(\mathbb R/\sim)| = |(\mathbb R/\sim)|$. Pero, dado que la unión es sólo $\mathbb R$ obtenemos $|(\mathbb R/\sim)| = |\mathbb R|$ como se requiere.