Linealización de un PDE.

Question

He estado luchando con algunos de linealización argumento de la siguiente ponencia: "M. Weinstein: Modulational la estabilidad de la tierra estados de NLS". Con el fin de dar un poco de contexto a mi pregunta, consideremos la ecuación NLS $$ 2i\phi_t+\Delta\phi+\vert\phi\vert^{2\sigma}\phi=0, \quad 0<\sigma<\tfrac{2}{n-2}.$$ Esta ecuación tiene muy interesante "localizada" soluciones de la forma: $$\phi(t,x)=u(x)e^{it/2},$$ donde $u(t,x)$ resuelve $\Delta u-u+\vert u\vert^{2\sigma}u=0$. Además, la última ecuación tiene una aún más interesante, real, positivo y radiales $H^1(\mathbb{R}^n)$ solución llamada "estado" y se denota por $R(x)$.

Ahora vamos a tratar de explicarme a mi pregunta. Considerar el perturbado Inicial Valorada Problema (IVP): $$2i\phi_t^\varepsilon+\Delta \phi^\varepsilon+\vert \phi^\varepsilon\vert^{2\sigma}\phi^\varepsilon=\varepsilon F(\vert \phi^\varepsilon\vert)\phi^\varepsilon, \quad \phi^\varepsilon(t=0,x)=R(x)+\varepsilon S(x)$$ Vamos a buscar soluciones de la ecuación anterior de la forma $$\phi^\varepsilon(t,x)=(R(x)+\varepsilon w_1+\varepsilon^2 w_2+...)e^{it/2}.$$ Según Weinstein si reeplace esta función en la perturbado ecuación y alinear obtendrá la siguiente IVP para el alineado de perturbación $w$: $$ 2iw_t+\Delta w-w+(\sigma+1)R^{2\sigma}w+\sigma R^{2\sigma}\overline{w}=F(R)R, \quad w(0,x)=0.$$ Ahora mi problema es: yo realmente no entiendo cómo obtener esta linealización, alguien puede explicar un poco cómo obtenerlo? O recomendar algunas referencias a aprender acerca de él.

Nota: $H^1(\mathbb{R}^n)$ denota el espacio de Sobolev (también denotado por $W^{1,2}$).

Note2: El parámetro de $n$ denota la dimensión.

Answer 1

La ecuación es de la forma $L[\phi] + A(\phi) + \epsilon B(\phi) = 0$ donde $L$ es el lineal mapa

$$ L = 2i\partial_t + \Delta ,$$ and $A,B$ son

$$ A(\phi) = |\phi|^{2\sigma} \phi , \quad B(\phi) = - F(|\phi|)\phi.$$

Subbing en $\phi=Re^{it/2} + \epsilon we^{it/2} $ obtenemos

$$ L[Re^{it/2}] + \epsilon L[we^{it/2}] + A(Re^{it/2} + \epsilon we^{it/2}) + \epsilon B(Re^{it/2} + \epsilon we^{it/2}) = 0.$$

Para encontrar el orden de líder en el comportamiento, el uso de la aproximación de Taylor $$ A(Re^{it/2} + \epsilon we^{it/2}) = A(Re^{it/2}) + \epsilon A'(Re^{it/2})[we^{it/2} ] + O(\epsilon^2), \\ B(Re^{it/2}+\epsilon we^{it/2}) = B(Re^{it/2}) + \epsilon B'(Re^{it/2})[we^{it/2}] + O(\epsilon^2),$$ para encontrar $$ L[Re^{it/2}] + A(Re^{it/2}) + \epsilon \left[ L[we^{it/2}]+A'(Re^{it/2})[we^{it/2}] + B(Re^{it/2})\right] = O(\epsilon^2).$$ Tenga en cuenta que el plazo que implican $B'$ es $O(\epsilon^2)$. Como se señaló en el OP, $L[Re^{it/2}] + A(Re^{it/2}) =0$, por lo que dividiendo por $\epsilon$, $$L[we^{it/2}]+A'(Re^{it/2})[we^{it/2}] + B(Re^{it/2}) = O(\epsilon).$$ Tomando nota de que \begin{align}B(Re^{it/2})& = -F(R)Re^{it/2}, \\ L[we^{it/2}] &= (2iw_t-w + \Delta w)e^{it/2}, \end{align} y \begin{align} A'(z)[h] &= \partial_z A(z) h + \partial_{\bar z} A(z) \overline h, \phantom{\big)}\\ \partial_z A(z) &= \partial_z (z^{\sigma+1} \bar z^\sigma ) = (\sigma+1)|z|^{2\sigma},\\ \partial_{\bar z} A(z) &= \partial_{\bar z} (z^{\sigma+1} \bar z^\sigma ) = \sigma|z|^{2\sigma-2}z^2, \end{align} lo que da $$ A'(Re^{es/2})[nos^{es/2}] = (\sigma+1)R^{2\sigma}nos^{es/2} + \sigma R^{2\sigma} e^{que} \bar que^{ - it/2} = \Big [(\sigma+1)R^{2\sigma}w + \sigma R^{2\sigma}\bar w \Big]e^{es/2}, $$

por lo que podemos dividir a través de por $e^{it/2}$ ver $$ 2iw_t-w + \Delta w + (\sigma+1)R^{2\sigma}w + \sigma R^{2\sigma}\bar w = F(R)R + O(\epsilon).$$ Para una linealización, no es necesario ampliar aún más la $w = w_1 + \epsilon w_2 +\dots$, debido a la $O(\epsilon)$ plazo.