Digamos que sumo todos los números del 1 al $n$ (diremos $n$ es 6 para este ejemplo). En este caso, obtendría un total de 21 ( $1+2+3+4+5+6=21$ ). Ahora planteemos la siguiente pregunta: si sustituyo el $+$ s con $\times$ s, ¿por qué tendría que dividir/multiplicar cada elemento de la secuencia para obtener la misma respuesta que con la suma? Es decir, si
$$f_1(x)=1+2+3+...+x$$
entonces qué sería $y$ en cada punto de
$$f_2(x)=\frac{1}{y_1}\times\frac{2}{y_2}\times\frac{3}{y_3}...\times\frac{x}{y_x}$$
Empecé a calcular algunos de los elementos de $y$ y (si no me he equivocado), tengo:
$$\begin{array}{c|c|c|c|} n & \text{Total ($f_1$)} & \text{Fraction of $y_n$} & \text{Decimal of $y_n$} \\ \hline \text{1} & 1 & 1 & 1\\ \hline \text{2} & 3 & \frac{2}{3} & 0.66\dot6\\ \hline \text{3} & 6 & \frac{3}{2} & 1.5\\ \hline \text{4} & 10 & \frac{12}{5} & 2.4 \\ \hline \text{5} & 15 & \frac{10}{3} & 3.33\dot3 \\ \hline \text{6} & 21 & \frac{30}{7} & 4.286... \\ \hline \end{array}$$
Más bien, podríamos obtener el valor de $y_n$ en cualquier punto utilizando la siguiente fórmula (siempre que un número entero positivo $n$ , $1<n$ ):
$$y_n=\frac{(\sum_{i=0}^{n-1} i)\times n}{\sum_{i=0}^{n} i}$$
La pregunta es si hay una forma más efectiva de calcular esto - la fórmula anterior es esencialmente hacer lo mismo que hice a mano (sumar todos los números, dividir, etc.), pero... como una fórmula. También conozco el método de Gauss para sumar números, pero tengo curiosidad por saber si hay algún vínculo matemático más profundo entre estos números -¿posiblemente una conexión con alguna secuencia en OEIS?
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Así que $$f_2(x)=\prod_{n=1}^{x}\frac{n}{y_n}=\frac{x!}{\prod_{n=1}^{x}y_n}\ .$$ También hay que tener en cuenta que $$\sum_{i=0}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\ .$$ ¿Está tratando de encontrar $y_k$ ? ¿Qué pregunta exactamente?
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$\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.$ Por lo que se obtiene $$y_n=\frac{(n-1)n^2}{n(n+1)}=\frac{n(n-1)}{n+1}=n-2+\frac{2}{n+1}$$ para $n>1.$
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@clathratus correcto.