Acabo de encontrar una pregunta interesante sobre las raíces cuadradas de las matrices y se me ha ocurrido una forma de encontrarlas, o al menos de reducirlas a un conjunto de problemas más sencillos.
Supongamos que tenemos una matriz $\bf A$ y se puede poner en algún formulario de Jordania:
$${\bf A} = {\bf SJS}^{-1}$$
Dónde $\bf J$ es un bloque diagonal formado por los famosos bloques de Jordania de la forma:
$${\bf J_{k}} = \begin{bmatrix} \lambda_k&1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots& & 0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_k&1\\0&\cdots&\cdots&0&\lambda_k\end{bmatrix}$$
En otras palabras, la diagonal principal completa con el valor propio $\lambda_k$ y la primera fuera de diagonal llena de unos.
El problema de encontrar alguna raíz n'th para $\bf A$ ahora se puede escribir $${\bf SJ}^{1/n}{\bf S}^{-1}$$ (¿Por qué?).
Así que Si estoy en lo cierto hasta ahora nos hemos reducido a encontrar alguna forma de calcular la raíz cuadrada de dichos bloques de Jordan $\bf J_k$ y en el caso más simple bloques de dimensionalidad 1, encontrando alguna raíz sobre nuestro campo escalar (para los propios valores propios).
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En primer lugar, ¿es correcto este razonamiento hasta ahora?
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En segundo lugar, cómo podemos acercarnos a encontrar la raíz cuadrada a matrices de la forma $\bf J_k$ . ¿Hay alguna simplificación o atajo que se pueda hacer?
