Encuentra el valor de$\alpha$ tal que$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^4-\sin x^4}{x^\alpha}=\frac{1}{6}$

Question

Me gustaría encontrar el valor de $\alpha$ tal que $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^4-\sin x^4}{x^\alpha}=\frac{1}{6}$ $ Me preguntaba si había una manera fácil de resolver eso sin usar la regla de L'Hôpital.

Answer 1

Solo usa la serie de seno de Taylor: $$\sin x^4 \approx x^4 - \frac{(x^4)^3}{3!}$ $

Answer 2

Sugerencia : use la serie de expansión de Taylor para $\sin{x^4}$ .

Answer 3

Ya que $\sin x^4=x^4-\frac1{3!}x^{12}+O(x^{20})$ , $$\lim_{x\to0}\frac{x^4-\sin x^4}{x^\alpha}=\lim_{x\to0}\frac{x^{12}/6+O(x^{20})}{x^\alpha}$ $ es fácil ver que si $\alpha=12$ entonces el $x^{12}$ se cancela en la parte superior e inferior, el término $O(x^{20})$ desaparece y tenemos el límite deseado