Demostrar el valor máximo de $(z-xy)(x-yz)(y-zx)$ es $\frac{1}{64}$ dado $x,y,z \in (0,1)$

Question

Demostrar el valor máximo de $(z-xy)(x-yz)(y-zx)$ es $\frac{1}{64}$ dado $x,y,z \in (0,1)$

Puedo hacerlo $\frac{1}{64}$ estableciendo $x,y,z = \frac{1}{2}$ pero no tengo ni idea de cómo demostrar que es el máximo.

Answer 1

Resulta que ayer mismo me presenté en este foro, en el proceso de respuesta otro pregunta stackexchange que si fijamos la media $a=\frac13(x+y+z)$ entonces $$ \left( 1 - \frac{xy}{z} \right) \left( 1 - \frac{yz}{x} \right) \left( 1 - \frac{xz}{y} \right) \leq (1-a)^3 $$ con igualdad si $x=y=z=a$ . Además, por la desigualdad de las medias aritmética y geométrica (que también figuraba en la prueba de la $(1-a)^3$ límite), tenemos $xyz \leq a^3$ de nuevo con igualdad si $x=y=z=a$ . Multiplicando estas dos desigualdades se obtiene $$ (z - xy) (x - yz) (y - xz) \leq a^3 (1-a)^3 = \bigl( a(1-a) \bigr)^3, $$ y una última aplicación de la desigualdad AM-GM muestra que es como máximo $(1/4)^3 = 1/64$ con igualdad si a=1/2, QED .

Answer 2

He aquí un planteamiento sencillo. Pongamos $f(x,y,z) := (-xy+z)(-yz+x)(-xz+y). $ Ahora encontramos sus puntos críticos como las soluciones del sistema polinómico $$\{-2y^2z^2x+y^3z+yz^3+3yzx^2-2y^2x-2z^2x+yz=0,$$ $$-2yz^2x^2+3y^2zx+z^3x+zx^3-2yz^2-2yx^2+zx=0,$$ $$-2y^2zx^2+y^3x+3yz^2x+yx^3-2y^2z-2zx^2+yx=0 \}\,(1)$$ que consiste en las derivadas parciales de $f$ igual a 0. Haciendo uso de la resultante eliminamos $x$ del sistema con ayuda de Maple (por supuesto, también se puede hacer a mano): $$ resultant(-2*y^2*z^2*x+y^3*z+y*z^3+3*y*z*x^2-2*y^2*x-2*z^2*x+y*z, $$ $$ 2*x^2*y*z^2+x^3*z+3*x*y^2*z+x*z^3-2*x^2*y-2*y*z^2+x*z, x)$$ salidas $$ 4y z^3 ( 16\,y^8z^4+8\,y^6z^6+8\,y^4z^8+16\,y^8z^2+$$ $$36\,y^6z^4+25y^4z^6+7y^2 z^8-4y^8-$$ $$24\,y^6{z}^{2}+22\,{y}^{4}{z}^{4}-7\,{y}^{2}{z }^{6}+{z}^{8}+4\,{y}^{6}-$$ $$7\,{y}^{4}{z}^{2}+9\,{y}^{2}{z}^{4}-$$ $$\left.2\,{z}^{6 }-{y}^{2}{z}^{2}+{z}^{4} \right) \,\,(2) $$ y $$resultant(-2*y*z^2*x^2+3*y^2*z*x+z^3*x+z*x^3-2*y*z^2-2*y*x^2+z*x,$$ $$2*x^2*y^2*z+x^3*y+x*y^3+3*x*y*z^2-2*x^2*z-2*y^2*z+x*y , x) $$ salidas $$ 16\,{y}^{2}{z}^{2} \left( {y}^{2}-{z}^{2} \right) ^{3} \left( {y}^{2}{ z}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}+1 \right)=$$ $$16y^2z^2 ( y^2-z^2)^3(z-1)(z+1)(y-1)(y+1)\,\,(3) .$$ Ahora podemos encontrar todas las soluciones reales de la ecuación (3) que satisfagan las restricciones $y\ge 0, y \le 1, z\ge 0,z \le 1$ : $$ [\{y = y, z = 0\}, \{y = y, z = 1\},\{y = 0, z = z\}, \{y = 1, z = z\}, \{y = z, z = z\}].$$ Todas las soluciones reales del sistema (1) que satisfacen las restricciones son $$\{x = 0, y = 0, z = z\}, \{x = 0, y = y, z = 0\}, \{x = x, y = 0, z = 0\}, \{x = x, y = x, z = 1\}, \{x = 1, y = y, z = y\},\{x = x, y = 1, z = x\},\{x = 1/2, y = 1/2, z = 1/2\} .$$ El hessiano de $f$ es negativa definida sólo en el punto $\{x = 1/2, y = 1/2, z = 1/2\} $ que es el único punto máximo de $f$ en el cubo $\{0<x,x<1,0<y,y<1,0<z,z<1\}.$

Queda por considerar $f$ en las caras del cubo unitario. Por ejemplo, poniendo $x=0$ obtenemos la restricción de $f$ que es igual a $ -y^2z^2 $ por lo que es no positivo en el cuadrado $\{y \ge 0,y \le 1,z \ge 0, z\le 1\}.$ Poner $x=1$ tenemos la restricción de $f$ es igual a $\left( -y+z \right) \left( -yz+1 \right) \left( y-z \right)$ . Esto también es no positivo ibid. El comportamiento de $f$ en los otros cuatro es el mismo. Por lo tanto, sacamos la conclusión de que el máximo de $f$ en el cubo unitario $\{0<x,x<1,0<y,y<1,0<z,z<1\}$ (que equivale a $\frac 1 {64}$ ) se alcanza en $\{x = 1/2, y = 1/2, z = 1/2\} $ . Ver los cálculos realizados con Maple aquí como archivo PDF.

Answer 3

He aquí una forma barata. Denotemos el LHS por $P$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que los tres factores deben ser positivos para obtener un producto positivo.

Ahora escribe $(x-yz)(y-xz)=xy(1+z^2)-(x^2+y^2)z\le xy(1+z^2)-2xyz=xy(1-z)^2$ . Multiplicar por $z-xy$ para obtener $$ P\le xy(1-z)^2(z-xy)\,. $$ Como todo es simétrico, también podemos escribir $$ P\le yz(1-x)^2(x-yz) $$ y $$ P\le xz(1-y)^2(y-xz)\,. $$ Multiplicando estos valores, obtenemos $$ P^3\le [xyz(1-x)(1-y)(1-z)]^2P\, $$ así que $P\le xyz(1-x)(1-y)(1-z)$ . Sin embargo, $x(1-x)=\frac 14-(x-\frac 12)^2\le\frac 14$ y lo mismo ocurre con los otros dos productos.

Answer 4

Bueno, puedes pensarlo de esta manera. Supongamos que tiene un máximo (el problema pide encontrarlo, así que creo que podemos asumir con seguridad que tiene uno). Ahora dada la simetría de la función es fácil ver que si cambias cualquiera de las 3 variables la función no cambia. Geométricamente significa que podrías cambiar cualquiera de los 3 ejes y la gráfica no cambiaría. Eso significa que el máximo debe estar en $x=y=z$ . De lo contrario podrías intercambiar dos ejes y la gráfica se modificaría (giraría) y el máximo se desplazaría (piensa en 2 dimensiones a un óvalo y prueba a ver que pasa si intercambias $x$ con $y$ ), pero la función no cambiará, por lo que esto no es posible. Ahora bien, dado que la función $x,y,z$ son iguales llamémoslos $x=y=z=s$ nuestra ecuación será $$ (s-s^2)^3=\frac{1}{64} $$ es decir $$ s-s^2=1/4 $$ y por lo tanto dadas las condiciones $s=1/2$ . Espero que sea comprensible.