Explica por qué lo siguiente es o no es una función multiplicativa.

Question

Estoy trabajando a través de la práctica de los problemas para mi examen en la clase y necesito un poco de ayuda con el siguiente problema:

Una función de $f(n)$ se define como el mayor poder de la $2$ que divide $n$.

Por ejemplo, $f(20) = 2^2 = 4$, $f(32) = 2^5 = 32$, $f(72) = 2^3 = 8$, etc.

Es $f(n)$ una función multiplicativa? Explique su respuesta.

Creo que es una función multiplicativa mirando los ejemplos, pero no estoy seguro de cómo explicar la lógica detrás de esto y demostrar que para todos los casos.

Por favor me corrija si estoy equivocado, gracias por la ayuda!

Answer 1

Una función multiplicativa satisface $f(1)=1$ (true en su caso) y $f(ab)=f(a)f(b)$ para cualquier coprime $a,b$. Esto se comprueba fácilmente, por escrito, $a=2^mx$ para $x$ impar, $b=2^ny$ para $y$ impar, y observando que $f(a)=2^m,f(b)=2^n$ e $f(ab)=2^{m+n}$ que es buena.

De hecho, $f$ es lo que se conoce como totalmente (o completamente) multiplicativo porque la relación es satisfecha por todos los pares $a,b$, no sólo coprime queridos.

Answer 2

Comenzaría observando que puede escribir cualquier entero positivo $n$ como $n = a \cdot 2^k$ donde $a$ es impar, y $f(n) = 2^k$ . En base a eso, considera lo que sucede si tienes $n_1 = a_1 \cdot 2^{k_1}$ y $n_2 = a_2 \cdot 2^{k_2}$ .

Answer 3

Supongamos $a = 2^\alpha p$ donde $p$ es una extraña prime, y $b = 2^\beta q$, donde $q$ es también una extraña prime (que incluso puede ser el mismo que $p$, en realidad). Por lo tanto $f(a) = 2^\alpha$ e $f(b) = 2^\beta$. Entonces, ¿qué es $ab$? Obviamente $ab = 2^\alpha 2^\beta pq = 2^{\alpha + \beta} pq$, lo $f(ab) = 2^{\alpha + \beta}$. Ahora sólo necesita considerar $p$ e $q$ que puede no ser la mejor, pero son impares para completar la prueba.