Evalúe $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}$

Question

Problema:

Dos secuencias $a_n, b_n$ que satisfagan

\begin{cases} a_{n+1}=n^2a_n -2b_n \\ b_{n+1}=n^2b_n +2a_n \end{cases} y $$a_1 =1, \quad b_1 = 0$$ Encuentre $$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}$$

¿Cómo puedo acercarme? No he podido encontrar ninguna relación de $a_n$ y $b_n$ .

Answer 1

Sea $r_n=\frac{b_n}{a_n},\ n\ge 1$ . Entonces, tenemos la secuencia iterativa, $$r_{n+1}=\frac{r_n+c_n}{1-c_nr_n},\ c_n=2/n^2\\\implies \theta_{n+1}=\theta_n + \arctan \frac{2}{n^2},$$ donde $\theta_n= \arctan r_n$ . Por lo tanto, $$\theta_n = \theta_1+\sum_{k=1}^n \arctan \frac{2}{n^2}=\sum_{k=1}^n \arctan \frac{2}{n^2}.$$ Ahora, observe que $\arctan(2/n^2)=\arctan\left(\frac{n+1-(n-1)}{1+(n+1)(n-1)}\right)=\arctan (n+1)-\arctan (n-1)$ para que.., $\theta_n = \sum_{k=2}^{n+1}\arctan k-\sum_{k=0}^{n-1}\arctan k=\arctan n + \arctan (n+1)-\frac{\pi}{4}.$ Por lo tanto, $\lim_{n\to \infty}r_n=\tan (\lim_{n\to \infty}\theta_n)=\tan(\pi/2+\pi/2-\pi/4)=-1.$

Answer 2

Llamando a $P_k = \left(\begin{array}{c}a_k\\ b_k\end{array}\right)$

$$ V = \frac{1}{\sqrt 2}\left( \begin{array}{cc} 1 & i \\ -1 & i \\ \end{array} \right),\ \ \ \Lambda_k = \left( \begin{array}{cc} k^2-2i & 0 \\ 0 & k^2+2i \\ \end{array} \right) $$

$$ M_k = \bar V^{\dagger}\cdot\Lambda_k\cdot V $$

tenemos

$$ \left(V\cdot P_{n+1}\right) = M_k\cdot\left( V\cdot P_n\right) $$

o llamando a

$$ R_n = V\cdot P_n $$

$$ R_{n+1} = M_n\cdot R_n $$

y así

$$ R_n = \prod_{k=1}^n M_k\cdot R_0 $$

pero

$$ \prod_{k=1}^n M_k = \left(\prod_{k=1}^n \rho_k\right)\left(\begin{array}{cc}e^{i\sum_{k=1}^n \phi_k}& 0 \\ 0 & e^{-i\sum_{k=1}^n\phi_k} \end{array}\right) $$

entonces

$$ V\cdot \left(\begin{array}{c}a_k\\ b_k\end{array}\right) = \left(\prod_{k=1}^n \rho_k\right)\left(\begin{array}{cc}e^{i\sum_{k=1}^n \phi_k}& 0 \\ 0 & e^{-i\sum_{k=1}^n\phi_k} \end{array}\right)\cdot V\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) $$

así que

$$ a_n= \frac{1}{2} e^{-i \Phi_n } \left(e^{2 i \Phi }+1\right) \left(\prod_{k=1}^n \rho_k\right) ,b_n= -\frac{1}{2} i e^{-i \Phi_n } \left(e^{2 i \Phi }-1\right) \left(\prod_{k=1}^n \rho_k\right) $$

y

$$ \frac{b_n}{a_n} = \tan{\Phi_n} $$

con

$$ \Phi_n = \sum_{k=1}^n\arctan\left(\frac{2}{k^2}\right) $$

de ahí

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n} = -1 $$