Como encontrar $\lim\limits_{n \to \infty}\int_{0}^{1}(\cos x-\sin x)^ndx$?

Question

Quiero calcular $$\lim\limits_{n \to \infty}\int_{0}^{1}(\cos x-\sin x)^n dx.$ $

Probé el teorema de compresión, intenté simplificar la integral, pero finalmente no obtuve nada.

Answer 1

Debido a que $(\cos(x)-\sin(x)) \leq 1-x$ sobre el rango de integración, un límite superior para la integral es $$\int_{0}^{1} (1-x)^n dx.$ $ Pero, $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} (1-x)^n dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} = 0.$ $

Debido a que la integral original es positiva para todos los $n$ , el límite debe ser cero según el teorema de Squeeze.

Answer 2

Observe $$\int_0^1f(x)^n\,dx=\int_0^\varepsilon f(x)^n\,dx+\int_\varepsilon^1 f(x)^n\,dx$$where $ f (x) = \ cos (x) - \ sin (x)$. Now, for $ 0 \ leq x \ leq 1$, we have $ | \ cos (x) - \ sin (x) | \ leq1$ with equality only when $ x = 0$. Then the first integral can be trivially estimated above by $ \ varepsilon$ and the second integral can be estimated above by $ \ cos (\ varepsilon) ^ n (1- \ varepsilon) <\ cos ^ n (\ varepsilon)$. Since $ \ cos (\ varepsilon) <1$, this limit must go to $ 0$. In particular, for an arbitrary $ \ delta> 0$, we can take $ n$ large enough and $ \ varepsilon$ small enough so that $$\left|\int_0^1 f(x)^n\,dx\right|<\delta.$$This formally proves that the limit must equal $ 0 $ .