Pregunta sobre los puntos de equilibrio del sistema no lineal de EDO.

Question

Así que tengo el sistema

\begin{align} x'&=y\\ y'&=-x-y\ln(x^2+4y^2) \end{align} Para encontrar los puntos de equilibrio necesito $x'=0$ e $y'=0$, lo puedo obtener

\begin{align} y&=0\\ -x-y\ln(x^2+4y^2)&=0 \end{align}

No veo cómo proceder aquí. Si $y=0$ en la segunda ecuación obtenemos $-x=0\Leftrightarrow x=0$ pero si $x=0$ e $y=0$ el logaritmo no está definido. Por lo $(0,0)$ no puede ser un punto de equilibrio.

Answer 1

Lo más probable es que esto es sólo un sistema que se define en $\mathbb{R}^2/(0,0)$; es decir, el origen no es parte del dominio de la dinámica del sistema.

Sin embargo, eso no dice nada acerca de si o no el barrio de el origen se comporta como si el origen es un punto fijo, y es muy probable que la singularidad en el origen es extraíble.

Para demostrarlo, se puede mostrar usando la regla de L'Hospital que:

$$\lim_{y\rightarrow0} \frac{\ln(4y^2)}{1/y} = \lim_{y\rightarrow0} \frac{2/y}{-1/y^2} = \lim_{y\rightarrow0} -2y = 0$$

Por lo tanto, la singularidad en el origen es extraíble y se puede analizar el sistema como lo haría en el caso "normal" mientras usted toma el cuidado de indicar que en realidad son "virar" la $0$ valor en el origen para definir sobre todo de $\mathbb{R}^2$. En esa situación, el origen es de hecho un punto fijo.

Vale la pena hacer este análisis, ya que como se puede ver a continuación, el sistema tiene un ciclo límite estable! Se puede demostrar formalmente por la construcción de un reventado de la región y la aplicación de la de Poincaré-Bendixson teorema.

Answer 2

Deje $V((x,y)) = {1 \over 2} (x^2+y^2)$, e $\phi(t) = V((x(t),y(t)))$. Tenga en cuenta que $\phi'(t) = -y^2 \ln(x^2+4y^2)$.

Deje $A= \{ (x,y) | {1 \over 4} \le x^2+y^2 \le 4 \}$.

Tenga en cuenta que $\phi'(t) \ge 0$ si $x(t)^2+y(t)^2= {1 \over 4}$.

Tenga en cuenta que $\phi'(t) \le 0$ si $x(t)^2+y(t)^2= 4$.

$A$ no contiene puntos de equilibrio.