¿Cuántos vértices puede tener una intersección hipercubo-hiperplano?

Question

Consideremos el n-hipercubo $[-1, 1]^n$ y la intersección con un n-hiperplano. La intersección es en general un $(n-1)$ -de un politopo. ¿Cuántos vértices puede tener?

Por ejemplo, cuando $n=2$ debe ser un segmento de línea, por lo que puede tener como máximo 2 vértices. Cuando $n=3$ puede tener como máximo 6 vértices. Tengo dificultades con $n\ge 4$ .

Cuando $n=4$ podemos intersecar el cubo por $\{x | \sum_{i=1}^4 x_i = 0\}$ para obtener un dodecaedro rómbico con 14 vértices, así que eso es un límite inferior al menos.

Answer 1

Sólo algunas ideas sin pruebas completas:

Consideremos el hipercubo $[\color{red}{-1},1]^n$ y lo intersectamos con un hiperplano $\{x\in\mathbb{R}^n \; | \; v^Tx=c\},\;v\in\mathbb{R}^n,\;c\in\mathbb{R}.$ Los vértices de la intersección son los puntos del plano que tienen $n-1$ coordenadas con un valor absoluto de $1$ y una coordenada con un valor absoluto de en más $1.$

Los casos $n=2$ y $n=3$ indican que el "mejor" hiperplano puede obtenerse utilizando $v=(1,\ldots,1)^T$ y $c=0.$ Todavía no he conseguido demostrarlo. Pero si lo asumimos, podemos encontrar fácilmente fórmulas para el número de vértices de la intersección.

Si $n$ es par, entonces tenemos que construir el vértice $x$ utilizando $\frac{n}{2}$ veces el valor $1$ y $\frac{n}{2}$ veces el valor $-1.$ Por lo tanto, hay $$n\choose{\frac{n}{2}}$$ vértices.

Si $n$ es impar, entonces tenemos que construir el vértice $x$ utilizando $\frac{n-1}{2}$ veces el valor $1,$ $\frac{n-1}{2}$ veces el valor $-1$ y una vez que el valor $0.$ Por lo tanto, hay $$n \cdot {n-1\choose{\frac{n-1}{2}}}$$ vértices.

Editar:

Incluso para $n$ Podemos hacerlo mejor. Deja que $v=(1,\ldots,1,0),\;c=0.$ Entonces podemos llenar el primer $n-1$ coordenadas de $x$ con $\frac{n-2}{2}$ veces el valor $1$ , $\frac{n-2}{2}$ veces el valor $-1$ y una $0.$ La última coordenada de $x$ es $-1$ o $1.$ Esto da lugar a $$ 2(n-1){n-2\choose \frac{n-2}{2}} $$ vértices.

Answer 2

Consideremos el hiperplano $x_1 = 1$ . La intersección tiene $2^{n-1}$ vértices, ¿no es así? ¡Así que el número máximo en el caso general es al menos ese!