Mejor método para resolver un problema geométrico.

Question

Esta pregunta es P. 13 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas Preliminar de Selección de Concurso - Hong Kong 2019.

$A$, $B$, $C$ son los tres puntos en un círculo mientras $P$ e $Q$ son dos puntos en la $AB$. Las extensiones de $CP$ e $CQ$ cumplir con el círculo de la $S$ e $T$ respectivamente. Si $AP=2$, $AQ=7$, $AB=11$, $AS=5$ e $BT=2$, hallar la longitud de $ST$.

Mi planteamiento:

Deje $BC=y$ e $AC=z$. Se puede considerar que la $CP=\dfrac{2y}5$, $PS=\dfrac{45}y$, $CQ=2z$ e $QT=\dfrac{14}z$. Aplicando la fórmula del coseno en $\triangle BCQ$, $\triangle BCT$, $\triangle ACP$ e $\triangle ACS$, sé que $y^2=\dfrac{1620}{11}$ e $z^2=\dfrac{994}{55}$.

Entonces puedo encontrar $\cos\angle PCQ$ y, por tanto, deducir que $ST=\dfrac{25}4$.

El cálculo es tedioso y estoy bastante seguro de que me he perdido algo. ¿Alguien tiene un método mejor?

Answer 1

De $\triangle BPS \sim \triangle CPA$ uno obtiene $$BS = \frac{AC\cdot BP}{CP} = \frac{45z}{2y}$ $ y de $\triangle AQT \sim \triangle CQB$ uno obtiene $$AT = \frac{BC\cdot AQ}{CQ} = \frac{7y}{2z}.$ $ Por lo tanto, $$BS \cdot AT = \frac{315}{4}.$ $ Entonces obtenemos el teorema de Ptolomeo $$BS \cdot AT = AS \cdot BT + AB \cdot ST,$ $ o equivalente $$\frac{315}{4}=5\cdot 2+11\cdot ST.$ $ Sigue que $$ST = \frac{\frac{315}{4}-10}{11} = \frac{25}{4}.$ $