Dobles integrales de integración del cambio polar de coordenadas.

Question

Espero que alguien me puede ayudar a determinar la de los límites de integración para este problema.

Evaluar $$\iint\limits_{R}xydA$$ where, $$R={(x,y): \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}\leq1, x\geq0,y\geq0}$$ mi intento, r=1, ya que $${(x,y): \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}\leq1}$$ The region of integration is in the first quadrant since $${x\geq0,y\geq0}$$ I change from cartesion to polar $$f(x,y)=xy$$ $$f(r,\theta)=rcos(\theta)rsin(\theta)$$ $$dA=rdrd\theta$$ So from everything above I thought the bounds would be r=0 to r=1 and $\theta=0$ to $\theta=\frac{\pi}{2}$ When I put everything together I get $$\int\limits_{0}^\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{1}rcos(\theta)rsin(\theta)rdrd\theta$$ Si puedo calcular la integral anterior llego $\frac{1}{8}$, sé que $\frac{1}{8}$ no es la respuesta correcta ya que la pregunta es de opción múltiple y las opciones son (a) 5 (b) 25 (c) 55 d) 72 e) 73. No sé a dónde ir desde aquí supongo que mi error tiene que ver con $(x,y): \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}\leq1$ ya que yo no uso $0\leq{y}\leq4$ e $0\leq{x}\leq6$ es solo que no estoy seguro de cómo incorporar las fracciones que son parte de la r?

Cualquier ayuda sería muy apreciada, gracias.

Answer 1

Esta pregunta es un poco complicado, porque $R$ no es un círculo cuadrante, es una elipse cuadrante. Por lo tanto, el subyacente de la elipse tiene que transformarse en un círculo por una sustitución – $u=\frac23x$obras: $$\iint_Rxy\,dA=\frac94\iint _Suy\,dA$$ $S$ es ahora un cuarto de un disco de radio $4$ alrededor del origen, de manera que las coordenadas polares puede ser utilizado: $$=\frac94\int_0^4\int_0^{\pi/2}r^3\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,dr$$ $$=\frac94\int_0^4\frac12r^3\,dr$$ $$=\frac98×\frac14×4^4=72$$

Answer 2

Todo el problema es que el dominio es 1 cuarto de una elipse y no un círculo. Por lo tanto, debemos parametrizar el dominio como parametrizaríamos una elipse.

Como $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ se puede parametrizar como $x=6\cos\theta, y = 4\sin\theta$ , la parametrización de la elipse es $$x=6r\cos\theta, y = 4r\sin\theta$$ where $r \ le 1$, $\ theta \ en [0, \ frac {\ pi} {2}]$

Answer 3

Deje $x = 6r\cos\theta$ e $y =4r\sin\theta$

Así, $\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{4^2}=r^2$

Ahora, $r^2\le1$

$x\ge0$ e $y\ge0\implies0\le r\le1$ e $0\le\theta\le\pi/2$

$dxdy = 24rdrd\theta$

$I = \int^{\frac{\pi}{2}}_0\int^{1}_{0}r^2(24\sin\theta\cos\theta)(24\ r)dr\ d\theta = 576 \int^{\frac{\pi}{2}}_0\int^{1}_{0}r^2(\sin\theta\cos\theta)(\ r)dr\ d\theta = 576\frac{1}{8} = 72$

(Usted ya ha encontrado $\frac{1}{8}$, por lo que sólo multiplicado por $576$)

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$x = 6r\cos\theta$ $y =4r\sin\theta$

Derivadas parciales:

$x_r = 6\cos\theta$, $y_r = 4\sin\theta$

$x_{\theta} = - 6r\sin\theta$ , $y_{\theta} = 4r\cos\theta$

$J = \begin{vmatrix}6\cos\theta & 4\sin\theta \\ - 6r\sin\theta & 4r\cos\theta\end{vmatrix} = 24r\cos^2\theta+24r\sin^2\theta = 24r$

Así, $dxdy = |J|drd\theta = 24r\ dr\ d\theta$

Answer 4

Si tuvieras $x^2+y^2=1$, entonces usted tendría un círculo de radio $1$. Si en lugar de $x^2+y^2=1$ había $\left(\frac x r\right)^2+\left(\frac y r\right)^2=1$, entonces el radio sería $r$. Pero para un círculo, usted no puede tener dos diferentes radios, lo que lleva a la conclusión de que esto no puede ser un círculo en coordenadas x-y; al contrario, es una elipse. Tiene un radio-1 círculo, usted necesita hacer un cambio de coordenadas: $u = \frac x 6$ $v = \frac y 4$. A continuación, puede hacer otro cambio de coordenadas a $r$ e $\theta$ en términos de $u$ e $v$. Tenga en cuenta que usted necesita para tener en cuenta la Jacobians para ambas transformaciones. O usted puede hacerlo todo en una transformación como en Ak19 la respuesta.