Existe al menos una función. Es la cdf del equilibrio de la distribución de probabilidad de la caótica secuencia $x(n+1) = |\log x(n)|$ con $x(1) = 2$. Su gráfica (aproximación) se muestra a continuación. Estoy interesado en una expansión de la serie de la densidad de $f(x)$, que es el derivado de la $F(x)$.
Nota
Espero que si usted comienza con una semilla diferente, decir $x(1) =3$, al final, con la misma distribución, a menos que usted toma uno de los muy raros semillas (llamado mala semilla) que resultan en diferentes $F$. El conjunto de los bad seeds tiene medida de Lebesgue cero, pero es infinito e incluso densa. Mi intuición se basa en lo siguiente: considere en su lugar $x(n+1) = bx(n) - \lfloor bx(n) \rfloor$. La distribución de equilibrio es uniforme en $[0, 1]$ este momento (si $b$ es un entero mayor que 1), a menos que recoger una mala semilla. Todos los números racionales son malas semillas. Toneladas de otros números son malas semillas. Pero la gran mayoría son buenas semillas. Una buena semilla es equivalente a un número normal: su dígitos en base $b$ están distribuidas de manera uniforme. Nadie sabe si $\pi, e, \log 2$ o $\sqrt{2}$ es una buena semilla. Más sobre esto en mi artículo sobre la teoría de la aleatoriedad o mi libro sobre el caos organizado.
Del mismo modo, en nuestro contexto aquí, demostrando que $x(1) = 2$ es una buena semilla es un problema muy difícil, y posiblemente de la onu-comprobable. Sin embargo, muchas de las pruebas que hace creer que se trata de una buena semilla. Algunas secuencias, tales como $x(n+1) = b+x(n) - \lfloor b + x(n)\rfloor$ no tiene malas semillas si $b$ es irracional. El mapa logístico $x(n+1) = 4x(n)\cdot (1-x(n))$ tiene un montón de malas semillas. En nuestro ejemplo, $x(1) = 0.567143...$ es una mala semilla debido a $x(2) = x(1)$ e lo $x(n) = x(1)$ para todos los $n$.
