¿Cuál es una situación física simple en la que los números complejos surgen de forma natural?

Question

Estoy intentando enseñar a los alumnos de secundaria la aparición de los números complejos y quiero motivar esto de forma orgánica. Con esto me refiero a algún tipo de problema del mundo real que la gente estuviera tratando de resolver y que les llevara a darse cuenta de que necesitábamos extender los números reales a los complejos.

Por ejemplo, los griegos se vieron obligados a reconocer los números irracionales no por razones puramente matemáticas, sino porque la longitud de la diagonal de un cuadrado de longitud unitaria es realmente irracional, y éste es el tipo de situación geométrica con la que ya estaban tratando. ¿Qué situación similar llevaría a los números complejos en términos que los niños pudieran apreciar?

Podría decir simplemente, tratar de resolver la ecuación $x^2 + 1 = 0$ pero eso no es algo del mundo físico. También podría dar un tipo de respuesta abstracta, así $\sqrt{-1}$ es sólo un objeto que definir tener ciertas propiedades que resultan ser consistentes e importantes, pero creo que eso tampoco será del todo satisfactorio para los niños.

Answer 1

No lo sé.

una situación física sencilla en la que los números complejos surgen de forma natural

pero puedo sugerir una forma de ayudarte

enseñar a los alumnos de secundaria la aparición de los números complejos y I quiero motivar esto orgánicamente.

Lo hice una vez como profesor invitado en un aula de secundaria, desarrollando una interpretación geométrica de la aritmética en la recta numérica.

Añadir un número fijo $r$ es un desplazamiento por $r$ , a la derecha si $r > 0$ , a la izquierda si $r < 0$ . Los desplazamientos sucesivos suman las cantidades de desplazamiento. Cada desplazamiento geométrico se caracteriza por la posición que $0$ se mueve a. Esto se ilustra visualmente desplazando físicamente una vara de medir a lo largo de una línea numérica dibujada en el tablero.

La respuesta a la pregunta "por qué se desplaza para que al hacerlo dos veces se desplace por $r$ ?" es claramente $r/2$ .

Esto es mirar hacia adelante a las raíces cuadradas, pero no lo dices todavía. La idea subyacente es que el grupo de desplazamientos es el grupo aditivo de los números reales, pero no lo dices nunca.

Ahora que la suma está hecha, se pasa a la multiplicación. Multiplicar por un positivo fijo $r$ reescala la línea numérica. Si $r>1$ las cosas se estiran, si $r < 1$ se encogen y se multiplican por $r=1$ no cambia nada. Para saber lo que hace una escala todo lo que necesitas saber es la imagen de $1$ .

Las escalas sucesivas multiplican, al igual que los desplazamientos sucesivos suman. ¿Qué hay que hacer dos veces para escalar por $9$ ? La mitad de $9$ no funciona, pero $3$ lo hace. La clase comprenderá rápidamente que la forma geométrica de reducir a la mitad una escala es hallar la raíz cuadrada.

¿Y la multiplicación por un número negativo? La geometría es clara: es la reflexión sobre $0$ seguido de un escalado por el valor absoluto. De nuevo la transformación se caracteriza por la imagen de $1$ .

Ahora estás listo para el desenlace. ¿Qué transformación geométrica puedes hacer dos veces para mover $1$ a $-1$ en la recta numérica? Coge tu vara de medir, colócala en la línea de la pizarra, gírala un cuarto de círculo para que quede en vertical, luego otro cuarto y ya está. La imagen de $1$ no está en la línea. Está en la posición $(0,1)$ en el sistema de coordenadas cartesianas que conocen los alumnos de secundaria. Les parecerá genial pensar en ese punto como un nuevo número que, multiplicado por él dos veces, se convierte en $r$ en $-r$ . Nombra ese número " $i$ ".

Si has llevado la clase hasta aquí, el resto es fácil. Rápidamente verán el $y$ como los múltiplos reales de $i$ . Claramente añadiendo $i$ debe ser una traslación vertical de una unidad. La suma de vectores para los números complejos sigue rápidamente. Pide la raíz cuadrada de $i$ y girarán la vara de medir $45$ grados. Si conocen los triángulos rectángulos isósceles sabrán que el (en realidad a ) raíz cuadrada de $i$ es $(\sqrt{2}/2)(1+i)$ que pueden comprobar formalmente con la ley distributiva (que no te pedirán que demuestres).

---

A advertencia . Creo que esto debería ser pura diversión para la clase. Dejadlo claro, para que si algunos no lo siguen no se preocupen. Yo no trataría de integrarlo en lo que pide el plan de estudios estándar. Probablemente no debería extenderse durante varios periodos de clase. Guárdalo para un día cercano al final del año escolar.

Answer 2

El origen histórico de los números complejos es, en mi opinión, el mejor enfoque. Consideremos el problema de resolver ecuaciones cúbicas del tipo $x^3+px+q=0$ . Para ello, tienes la fórmula de Cardano: $$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.$$ Pero ¿qué hacer si resulta que $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ ? Esto ocurre, por ejemplo, en el caso de la ecuación $x^3-15x-4=0$ En este caso tenemos $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=-121<0$ . Así, la fórmula de Cardano nos dice que una raíz de la ecuación es $$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}.\tag1$$ ¿Podría esto significar que la ecuación no tiene soluciones? No, ya que $4$ es claramente una solución. Sin embargo, si aceptamos que podemos trabajar con raíces cuadradas de números negativos, entonces \begin{multline}\left(2+\sqrt{-1}\right)^3=2+11\sqrt{-1}=2+\sqrt{-121}\text{ and }\\\left(2-\sqrt{-1}\right)^3=2-11\sqrt{-1}=2-\sqrt{-121}.\end{multline} Por lo tanto, es natural decir que $$(1)=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}=4.$$ Así, esto demuestra que podemos trabajar con números complejos para encontrar real raíces de ecuaciones cúbicas con real coeficientes. Y, en el XIX th siglo, Pierre Wantzel demostró que, si queremos tener una fórmula algebraica para hacerlo, es imposible evitar los números complejos.

Answer 3

Si quiere un fenómeno físico para el que los números complejos simplifican enormemente el análisis, permítame llamar su atención sobre la corriente eléctrica alterna.

Puedes usar el cálculo para analizar cómo responde una señal de CA a un circuito dado de resistencias, condensadores e inductores, o puedes usar números complejos que convierten todo este cálculo en álgebra.

Answer 4

Yo sugeriría la esfera de Riemann . Mapea la latitud y la longitud en un solo número de forma sencilla y encantadora. Una vez hecho esto, puedes girar la Tierra alrededor del Polo Norte multiplicando por $e^{i\theta}$ , gíralo $90°$ sobre los puntos ecuatoriales $90°W$ y $90°E$ mediante la transformación $z$ a $\frac{1+z}{1-z}$ e incluso reflejarlo en el meridiano de Greenwich transformando $z$ a $\bar z$ . (El punto antipodal de $z$ es $-\bar z^{-1}$ - aportando amablemente la idea de que la conjugación es una especie de reflexión).

Puede girar un punto $w$ en el poste (yo suelo utilizar $0$ para el Polo Norte, aunque la convención parece ser tener eso para el Polo Sur) por la transformación que toma $z$ a $\frac{z-w}{1+wz}$ . Eso permite medir la distancia del círculo máximo desde cualquier punto $w_0$ a cualquier otro punto $w_1$ Desde que te has mudado $w_0$ al Polo, la latitud de $w_1$ transformado de la misma manera le dará fácilmente su distancia. También puedes obtener la dirección, comparando la longitud de la transformada $w_1$ con la longitud del polo transformado.

Y si quieres dibujar un gran círculo de $w_0$ a $w_1$ Entonces todo lo que hay que hacer es dar pasos iguales en latitud desde el Polo hasta el transformado $w_1$ y hacer la transformación inversa para llevar todo a latitudes y longitudes reales. Así planifiqué mi primer vuelo intercontinental.

Todo esto es físico, como usted pidió. Al codificar un par de números (latitud y longitud) como un único número complejo, permite a tus alumnos realizar todo tipo de ejercicios geográficos y esfero-geométricos simplemente multiplicando y dividiendo números complejos, sin necesidad de ninguna fórmula llena de senos y cosenos.

Como ventaja, si se mueven tan rápido por el cosmos que la Relatividad Especial empieza a tener efecto, aprendí de un artículo de Roger Penrose que se puede todavía modelar las posiciones distorsionadas de las estrellas mediante una transformación de la forma $\frac{a+bz}{c+dx}$ . Pero eso se deja como ejercicio para el lector.

Answer 5

Bueno puede que no sea muy útil para los estudiantes de secundaria, pero

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html

es bastante convincente.

Una respuesta natural para los estudiantes de secundaria es que las ondas sinusoidales se parecen mucho a las ondas cosenoidales, y tenemos un montón de fórmulas que las relacionan de diversas maneras, pero si introducimos fase entonces las cosas se ponen bonitas. Así que podemos describir un valor periódico en términos de fase y amplitud. Cuando los multiplicamos, las amplitudes y las fases se combinan de una manera extraña, "extraña" de la misma manera que en lugar de $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} $$ tenemos que utilizar reglas más complicadas para encontrar el nuevo numerador y denominador. Pero si convertimos la amplitud y la fase en $x$ -parte y $y$ -parte vía $$ x = A \cos \theta\\ y = A \sin \theta $$ entonces un producto de ondas termina produciendo $x$ y $y$ valores (es decir, partes reales e imaginarias) que se combinan con una regla no más extraña que la de la suma de fracciones. Lo único peculiar es que $(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)$ Así que si usted considera que el " $x$ -parte" como correspondiente a los números reales, entonces tienes algo cuyo cuadrado es $-1$ .