Encontrar la integral de$\int x\ln(1+x)dx$

Question

Sé que tengo que hacer una u sustitución y, a continuación, hacer la integración por partes. $$\int x\ln(1+x)dx$$

$ u = 1 + x$

$du = dx$

$$\int (u-1)(\ln u)du$$

$$\int u \ln u du - \int \ln u du$$

Voy a resolver el $\ln u$ problema por primera vez, ya que será más fácil

$$ \int \ln u du$$

$u = \ln u$

$du = 1/u$

$dz = du$

$z = u$

$$-(u\ln u - u)$$

Ahora voy a hacer la otra parte.

$$\int u \ln u du$$

$u = \ln u$ $du = 1/u$

$dz = udu$ $z = u^2 / 2$

$$\frac {u^2 \ln u}{2} - \int u/2$$

$$\frac {u^2 \ln u}{2} - \frac{1}{2} \int u$$

$$\frac {u^2 \ln u}{2} - \frac{u^2}{2} $$

Ahora agregue la otra parte.

$$\frac {u^2 \ln u}{2} - \frac{u^2}{2} -u\ln u + u $$

Ahora poner la u de nuevo en términos de x.

$$\frac {(1+x)^2 \ln (1+x)}{2} - \frac{(1+x)^2}{2} -(1+x)\ln (1+x) + (1+x) $$

Esto está mal y no estoy seguro de por qué.

Answer 1

Comentario para Jordania: No debe leer la solución a continuación, es algo no estándar y en esta etapa debe pensar en términos de enfoques estándar.

Utilizamos la integración por partes,$u=\ln(1+x)$,$dv=x\,dx$. Asi que $du =\frac{dx}{1+x}$.
Ahora hacemos algo lindo con$v$. Cualquier antiderivada de$x$ servirá. En lugar de aburrir viejos$\frac{x^2}{2}$, podemos tomar$$v=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+1)(x-1).$ $ Así$$\int x\ln(1+x)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\right)\ln(1+x)-\int \frac{1}{2}(x-1)\,dx.$ $

Answer 2

Intente llevar el derivado de su solución a "la otra parte" ($\frac {u^2 \ln u}{2} - \frac{u^2}{2} $) y compare con el punto de partida ($u\ln u$). Este enfoque debe servir como una regla general para verificar integrales (que al menos no tiene memorizado).

Como otra regla general, intente no reutilizar las variables, por ejemplo, en su línea$u = \ln u\space \text{d}u = 1/u$; puede llevar a errores a medida que olvida qué$u$ es cuál. $u \ne 1/u$, que es una pista (y no,$\ln u\space \text{d}u \ne 1/u$.)

Answer 3

Primero de todo, quiero advertirte sobre el uso excesivo de $u$ como dos variables diferentes. Cuando lo probé, yo solía $t$ a stubstitute en el principio, en lugar de eso, para evitar cualquier accidente por la confusión. (Esta confusión podría afectar a usted, o quien quiera que sea, la lectura de su obra.)

En segundo lugar hay un error: $\frac {u^2 \ln u}{2} - \frac{u^2}{2}$. esto debería ser $\frac {u^2 \ln u}{2} - \frac{u^2}{4}$, debido a que antes de integrados $u$, ya había un 1/2 fuera.

Así que estoy de acuerdo con $\int x\ln(1+x) dx=\frac {(1+x)^2 \ln (1+x)}{2} - \frac{(1+x)^2}{4} -(1+x)\ln (1+x) + (1+x)+C$.

También se puede omitir el 1 si te gusta, por la combinación de a $C$.