En la solución, dice que$f(a)\ge a$ y$f(b)\le b$ pero no me parece obvio. Si se me acaba de dar un$f:[a,b]\to[a,b]$, ¿cómo puedo saber si esta función aumenta, disminuye o solo es una línea horizontal?
Respuestas
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tmastny
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194
Recuerda lo que significa$f:[a,b] \to [a,b]$. Significa que dado cualquier$x \in [a,b]$, sabemos que$f(x) \in [a,b]$. ¿Qué significa que$f(x)$ esté en el intervalo$[a,b]$? Ese $a \leq f(x) \leq b$. Para$a$,$a \leq f(a) \leq b$ y para$b$,$a \leq f(b) \leq b$. Verifique que no se requiera nada sobre la forma o el comportamiento de$f$: solo que el rango o la imagen de$f$ es un subconjunto de$[a,b]$.
fireballs
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66
Sólo en aras de la exhaustividad, aquí hay una respuesta para el problema real.
Considere una función de $g(x) = f(x) - x$. Queremos mostrar que
$$ \existe c espacio \g(c)=0 $$
Ahora, $f(a) - a$ es necesariamente negativo, ya que $f(a) \geq a $ y de manera similar a $f(b) - b$ es necesariamente no-positivo.
Si cualquiera de estos se $0$, entonces estamos hecho y $c = a$ o $c = b$. Si no, tenemos:
$$ f(a) - a > 0 > f(b) - b \\ g(a) > 0 > g(b) $$
Por lo tanto, por el IVT, tenemos $g(c) = 0$ para algunos $c \in [a, b]$, y por lo tanto $f(c) -c = 0$ o $f(c) = c$.
Como usted puede ver, usted no necesita saber que la función es creciente o decreciente o constante, la pieza vital de información es que $f : [a, b] \rightarrow [a, b]$, ya que esto implica $a \leq f(x) \leq b$.
Phonics The Hedgehog
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111
pista: haz un dibujo de la siguiente manera:
(a) dibuja el cuadrado delimitado por las líneas$x = a, x = b, y = a$ y$y = b.$
(b) dibuje la línea diagonal$y = x$
(c) dibuje la gráfica de la función$y = f(x)$ comenzando en el borde izquierdo del cuadrado que termina en el borde derecho porque$f: [a,b] \rightarrow [a,b]$
¿Puedes ver que la función debe cruzar la diagonal porque no puede escapar por la parte inferior o la parte superior del cuadrado?
yeeen
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1247
Vaya por contradicción, deje que$f:[a,b]\rightarrow [a,b]$ sea continuo sin un punto fijo, entonces$\forall x\in[a,b]:f(x)\ne x$.
Si considera$a\in[a,b]$, entonces tiene que seguir a$f(a)\ne a \Rightarrow f(a) > a$.
Si existe$x\in[a,b]$ tal que$f(x) < x$, entonces la continuidad implicaría$\exists x'\in[a,b]: f(x') = x'$, así que$\forall x\in[a,b]:f(x) > x$.
Como$f(b)\in[a,b]$, ya sea$f(b) = b$ o$f(b) < b$. El primer caso es una contradicción instantánea, el segundo caso seguiría (2) y daría una contradicción.
Entonces,$f$ tiene que tener un punto fijo.
