$(e_{n})$ base ortonormal,$(f_{n})$ secuencia ortonormal tal que$\sum\left\|e_{n}-f_{n}\right\|^{2}<\infty$ Entonces$(f_{n})$ es base ortonormal.

Question

Deje $H$ ser un espacio de hilbert, $(e_{n})$ un ortonormales base de $H$ y, $(f_{n})$ un ortonormales secuencia en $H$ tal que $$\sum_{n=1}^{\infty}\left\|e_{n}-f_{n}\right\|^{2}<\infty. \tag{I}$$ Mostrar que $(f_{n})$ es también una base ortonormales.

Comentario: Mi idea era la siguiente:

Primero os muestro el siguiente hecho:

Hecho 1: Vamos a $H$ ser un espacio de Hilbert, $(x_{n})_{n=1}^{\infty}$ un ortonormales base de $H$, y deje $(y_{n})_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia en $H$ tal que $$\sum_{n=1}^{\infty}\left\|x_{n}-y_{n}\right\|^{2}<1. \tag{II}$$ Entonces, si $z\bot y_{n}$ para todos los $n\in\mathbb{N}$,, a continuación,$z=0$.

Deje $f\bot f_{n}$ para todos los $n\leq 1$, luego por (I) no existe $m$ tal que $$\sum_{n=m+1}^{\infty}\left\|e_{n}-f_{n}\right\|^{2}<1. \tag{III}$$ Por lo tanto, por el Hecho de 1 tenemos que $\left\{e_{1},\ldots,e_{m},f_{m+1},f_{m+2},\ldots\right\}$ total en $H$.

Necesito mostrar que $\left\{f,f_{1},\ldots,f_{m}\right\}$ es linealmente dependiente.

Answer 1

$\def\span{\operatorname{span}}$

Esta solución utiliza las ideas de Demophilus y DisintegratingByParts , que lo retiró de su casi completa de la solución por alguna razón desconocida.

Tome $m \in \mathbb{N}$ tal que $\sum_{n=m+1}^\infty \|e_n-f_n\|^2 = c <1$ y tome $V = \overline{\text{span}\{e_{m+1},e_{m+2}, \ldots\}}$. Deje $W = \span\{e_1, \dots, e_m\} = V^\perp$. Deje Que $V' = \overline{\text{span}\{f_{m+1},f_{m+2}, \ldots\}}$.

Existe una isometría $A'$ de $V$ a $V'$ determinado por $e_j \mapsto f_j$ para $j \ge m+1$. Definir $A : H = W \oplus V \to H$ por $A( w + v) = w + A'(v)$. El rango de $A$ es $W + V'$. Entonces $$ (A - I)(w + v) = A'(v) - v = \sum_{ j = m+1}^\infty \langle v, e_j\rangle (f_j - e_j). $$

$$ \begin{aligned} || (A - I) (w + v)|| &\le \sum_{ j = m+1}^\infty | \langle v, e_j\rangle| \ \ || f_j - e_j|| \\ & \le \left( \sum_{ j = m+1}^\infty | \langle v, e_j\rangle|^2\right ) ^{1/2} \left( \sum_{ j = m+1}^\infty || f_j - e_j ||^2\right )^{1/2} \\ & = c^{1/2} ||v|| \le c^{1/2} ||w + v||, \end{aligned} $$ donde la última estimación de los usos que $w$ e $v$ son ortogonales, por lo $||v + w||^2 = ||v||^2 + ||w||^2$. Por lo tanto $|| A - I ||\le c^{1/2} < 1$, e $A$ es invertible. (Ver la prueba de esbozar a continuación.) En particular, $A$ es surjective lo $W+ V' = H$. Compruebe que $W \cap V' = (0)$, lo $H = W \oplus V'$ (no es una suma directa ortogonal).

En particular, $H/V'$ es $m$--dimensiones, por lo $(V')^\perp$ es $m$ dimensiones. Pero $\{f_1,\ldots, f_m\}$ es un ortonormales subconjunto de $(V')^\perp$ de cardinalidad $m$, lo $\{f_1,\ldots, f_m\}$ es una base ortonormales de $(V')^\perp$. Por lo tanto, $\{f_j : 1 \le j < \infty\}$ es una base ortonormales de $H$.

Nota: En cualquier álgebra de Banach con la identidad de $I$ (e $||I|| = 1$) si $x$ es un elemento de satisfacciones $||x|| < 1$,, a continuación, $I - x$ es invertible con inverse $\sum_{j = 0}^\infty x^j$. Aplicar esto en nuestro contexto, observando $A = I - (I - A)$.

Answer 2

Tome$m \in \mathbb{N}$ tal que$\sum_{n=m+1}^\infty \|e_n-f_n\|^2 <1$ y tome$V = \overline{\text{span}\{e_{m+1},e_{m+2}, \ldots\}}$. Por su hecho 1 tenemos ese$V = \overline{\text{span}\{f_m,f_{m+1}, \ldots\}}$. Darse cuenta de $V^\perp = \text{span}\{e_1,\ldots, e_m\}$. Pero también tenemos que$\{f_1,\ldots, f_m\} \subset V^\perp$ es un subconjunto linealmente independiente. Debido a que$\dim V^\perp =m$,$\{f_1,\ldots, f_m\}$ es una base de$V^\perp$. Entonces debemos tener que$(f_n)_n$ es una base ortonormal de$V \oplus V^\perp =H$ que concluye nuestra prueba.