Demuestre que las series convergen o divergen

Question

Si $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ convergen y tienen términos positivos entonces decida si las siguientes series convergen o divergen :

a) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \sin{a_n}$

Creo que converge ya que $\sin {a_n} \le 1$ así que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \sin{a_n} \le \sum_{n} ^{\infty} a_n$ pero no sé si es cierto.

b) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n} \cdot \frac{n^{a_n}-1}{\ln{n}} $

aquí tengo la idea de utilizar el hecho de que $\displaystyle \lim_{a_n \to 0}\frac{n^{a_n}-1}{a_n}= \ln{n}$ y tendremos

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot \sqrt{a_n} \cdot \frac{n^{a_n}-1}{a_n \cdot \ln{n}} \to \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot \sqrt{a_n}$ y sabemos que convergen .

Answer 1

Una pista.

Para a) $\displaystyle |a_n\sin a_n|\le|a_n|$ implica $\displaystyle \sum a_n\sin a_n$ es absolutamente convergente, por lo tanto es convergente.

Para b), tenemos dos casos distintos.

b.1) Supongamos que $a_n \ln n \rightarrow 0$ entonces tenemos $$ \sqrt{a_n} \: \frac{n^{a_n}-1}{\ln{n}} \sim a_n^{3/2}. \tag1$$ Ahora, como $n$ es suficientemente grande, ya que $a_n$ tiende a $0$ tenemos $a_n^{3/2}\leq C a_n$ para alguna constante $C$ lo que implica la convergencia de $\displaystyle \sum a_n^{3/2}$ por lo que la convergencia de $\displaystyle \sum \sqrt{a_n} \:\frac{n^{a_n}-1}{\ln{n}} $ .

b.2) Supongamos que no tienen $a_n \ln n \rightarrow 0$ , entonces la serie $\displaystyle \sum \sqrt{a_n} \:\frac{n^{a_n}-1}{\ln{n}}$ pueden ser divergentes, ya que Kelenner demostrado a continuación, o puede ser convergente como Jonas Meyer ha demostrado aquí .