Demostrar que .

Question

Deseamos demostrar que

PS

PS

PS

Sub$$I=\int_{0}^{\infty}\left(2\cdot{1-e^x\over 1-e^{3x}}+{1+e^x\over 1+e^{3x}}\right)dx=\ln{3}\tag1$ y$$1-e^{3x}=(1-e^x)(1+e^x+e^{2x})\tag2$ en$$1+e^{3x}=(1+e^x)(1-e^x+e^{2x})\tag3$

PS

Cualquier pista, por favor, no puedo continuar.

PS

Respectivamente.

Aplicar la fórmula (17) a$(2)$

Por lo tanto

PS

PS

Por lo tanto,$(3)$

Answer 1

Cualquier pista, por favor, no puedo continuar.

Sugerencia Al cambiar la variable$u=e^{-x}$,$dx=-\dfrac{du}u$, se obtiene $$ \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left (2 \ cdot {1 \ over 1 + e ^ x + e ^ { 2x}} + {1 \ sobre 1-e ^ x + e ^ {2x}} \ right) dx = \ int_ {0} ^ 1 \ left (2 \ cdot {u \ over u ^ 2 + u +1} + {u \ over u ^ 2-u +1} \ right) du $$ que es estándar evaluar.

Answer 2

Al reemplazar$x$ con$-\log t$ obtenemos:

$$ I = \int_{0}^{1}\frac{3t-t^2+3t^3}{1+t^2+t^4}\,dt=\int_{0}^{1}\frac{3t-t^2+t^4-3t^5}{1-t^6}\,dt\tag{1} $ $ y al expandir la última función integrand como una serie de Taylor obtenemos:$$ I = \sum_{n\geq 0}\left(\frac{3}{6n+2}-\frac{1}{6n+3}+\frac{1}{6n+5}-\frac{3}{6n+6}\right)\tag{2}$ $ que se puede calcular fácilmente mediante:$$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b}\tag{3}$ $, lo que lleva a:$$\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(6n+2)(6n+6)}=\frac{\pi\sqrt{3}+9\log 3}{144},\quad \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(6n+3)(6n+5)}=\frac{\pi\sqrt{3}-3\log 3}{24}. \tag{4}$ $