En esta pregunta en las Matemáticas.SE, me preguntó acerca de Ramanujan del (ridículamente cerca de) la aproximación para contar el número de 3-lisa enteros menor o igual a un entero positivo $N$, es decir, \begin{eqnarray} \frac{\log 2 N \ \log 3 N}{2 \log 2 \ \log 3}. \end{eqnarray} En la publicación póstuma de su notebook, Ramanujan generalizado de esta fórmula de forma similar a contar los números de la forma $b_1^{r_1} b_{2}^{r_{2}}$ donde $b_1, b_2 > 1$ (no necesariamente distintos) números naturales y $r_1, r_2 \geq 0$: \begin{eqnarray} \frac{\log b_1 N \ \log b_2 N}{2 \log b_1 \ \log b_2}, \end{eqnarray} donde un factor de $\frac{1}{2}$ es para ser añadido si $N$ es de la forma prescrita. Ambos de estos problemas podría ser entendido por contar el número de entero no negativo, soluciones de la Diophantine la desigualdad: $(\log b_1) x_1 + (\log b_2) x_2 \leq \log N$, que también cuenta el número de $\mathbb{Z}$-red de puntos en la $\log N$ dilatar de la $2$-polytope $\mathcal{P} = \textbf{conv}(\mathbf{0}, (\log b_{1})^{-1} \mathbf{e}_1, (\log b_2)^{-1} \mathbf{e}_{2})$. Aquí, $\{ \mathbf{e}_{i}\}$ es el estándar de la base de $\mathbb{R}^{n}$. Por desgracia, contando celosía puntos en el real polytopes es duro.
Mi pregunta, ahora, es como una importante contribución a las matemáticas sería si uno tenía una fórmula exacta para el recuento $y$-suave enteros menores o iguales a un real $x > 0$, es decir, una fórmula exacta para el de Bruijn función de $\Psi(x,y)$? Este sería, al mismo tiempo, se traducen en una fórmula exacta para el recuento de celosía puntos del real polytopes de la forma $\textbf{conv}(\mathbf{0}, a_{1} \mathbf{e}_{1}, \dots, a_{n} \mathbf{e}_{n})$ con $a_{i} \in \mathbb{R}_{> 0}$.
Soy consciente de la revisión de los artículos por Pomerance, Granville, Hildebrand y Tenenbaum, que cada uno de acuerdo con diversas estimaciones de De Bruijn función y su utilidad en la Criba Cuadrática del Método de factorización y aplicaciones a la criptografía, e incluso Waring del Problema. Sin embargo, ninguno de estos artículos de revisión lidiar con las consecuencias de tener una fórmula exacta.
