Supongamos que$A$ es nilpotent, y$B = c_0I_n + c_1A + \cdots + c_{m-1}A^{m-1}$, muestra$\det(B) = 0$ iff$c_0 = 0$

Question

Deje $A$ ser $n\times n$ matriz, con datos reales de las entradas. Si $A$ es nilpotent, por lo $A^m = 0$ para algunos $m \ge 1$, $B = c_0I_n + c_1A + \cdots + c_{m-1}A^{m-1}$, donde $c_i \in R$ por cada $i$, muestran que $\det(B) = 0$ si y sólo si $c_0 = 0$.

Mi intento:

Por eso, $c_0 = 0$ implica $\text{det}(B) = 0$ es evidente: si el $c_0 = 0$,, a continuación, $\det(B) = \det((c_1 + c_2A + \cdots + c_{m-1}A^{m-2})A) = \det(c_1 + c_2A + \cdots + c_{m-1}A^{m-2})\cdot \det(A) = 0,$ desde $\det(A) = 0$ si $A$ es nilpotent.

No estoy seguro de cómo abordar la dirección inversa. Si $\text{det}(B) = 0$ sabemos: $B$ no es invertible, sabemos que $\det(c_0I_n + c_1A + \cdots + c_{m-1}A^{m-1}) = 0$. Pero no sé a dónde ir desde aquí! Una pista en la dirección correcta sería apreciada.

Answer 1

Si$N$ es nilpotente del pedido$k$, entonces$I-N$ es invertible porque $$ (IN) (I + N + N ^ {2} + \ cdots + N ^ {k-1 }) = IN ^ {k} = I. $$ Ahora suponga que$A$ es nilpotente y además suponga que$c_0 \ne 0$. Entonces $$ c_0 I + c_1 A + c_2 A ^ {2} + \ cdots + c_ {m-1} A ^ {m-1} = c_0 (IN), $$ donde$N$ es nilpotente. Por lo tanto, lo anterior es invertible si$c_0 \ne 0$. Sin embargo, lo anterior definitivamente no es invertible si$c_0=0$ porque, en ese caso, lo anterior es nilpotente.

Answer 2

Si el espacio vectorial es $R^n$ extenderlo a $C^n$ . Todavía tenemos $A^m=0$, debido a que cualquier $v \in C^n$ es igual a $x +i y$ donde $x,y \in R^n$, e $A^m z=A^m x +i A^m y=0$.Un punto crucial es que $$ A \text { has no non-zero eigenvalues}$$ because $z =k z$ with $k\ne 0$ and $z\ne 0$ implies $A^m z =k^m z \ne 0$. Consider the polynomial $ p(v)=\sum_{j=0}^{j=m-1} c_j v^j$ for $v \in C$ with $c_0\ne 0$ in the case where $ d=\deg p >1$. We have $p(v)= c_0 \prod_{j=1}^{j=d}(v-v_j)$ for all $v \in C $ for some non-zero $ v_1,\ldots,v_d \en C$...$$\text{ Assume } \det (B)=\det( p(A))=0.$$ Then $c_0^{-1} p(a) z =0$ for some non-zero vector $z$, so let $d_0$ be the least $k$ with $1\le k \le d$ such that $\prod_{j=1}^{j=k}(A-v_j) z =0.$ We have $d_0>1$ ,else $z=v_1 z$ (which makes $v_1$ a non-$0$ eigenvalue of $ Un$.) But if $d_0>1$ , put $w=\prod_{j=1}^{j=d_o-1}(A-v_j) z$. Then we have $w\ne 0$ and $(A-v_{d_0}) w =0$ (because all the terms $A-v_j$ commute with each other) which makes $v_{d_0}$ a non-zero eigenvalue of $Un$.$$\text{ So we have a contradiction from assuming } \det (B)=0.$$ I leave the case $\deg (p) <2$ up to you. Remark: I am using the usual notation $A-v=a-vI$ when $A$ is a linear operator and $v$ is a scalar.(So that the expressions $p(a)$ and $A-v_j$ tener sentido). Después de ver otra respuesta me recuerda que yo siempre parecen encontrar la más dura prueba.

Answer 3

Haz lo siguiente:

Considere$B^n$ la potencia número B de B, con$n\geq m$

$B^n = (c_0 I + c_1 A + \cdots + c_{m-1} A^{m-1}) \cdot \ldots \cdot (c_0 I + c_1 A + \cdots + c_{m-1} A^{m-1})$

$B^n = c_0^n I^n + \sum_{2n \geq i\geq n} \alpha_i A^i = c_0^n I$

Con$\sum_{2n \geq i\geq n} \alpha_i A^i$ quiero decir que$B^n$ es igual a$c_0^n I$ más algunas potencias de$A$ multiplicado por un escalar pero el exponente de esas potencias de$A$ es mayor que $m$ por lo tanto,$A^i=0$ y$B^n = c_0^n I$.

Ahora usa lo que sabes$0 = det(B)^n = det(B^n) = det(c_0^n I) = c_0^k det(I) = c_0^k$ por lo tanto,$c_0 = 0$.