Probabilidad (Teorema de Bayes)

Question

La probabilidad de que un día concreto sea lluvioso es $3/4$ . Dos personas cuya credibilidad $4/5$ y $2/3$ afirman que el día era lluvioso. Cuál es la probabilidad de que realmente fuera un día lluvioso?

Creo que aquí tengo que aplicar el teorema de Bayes, pero no sé cómo Esta pregunta apareció en mi examen.

Answer 1

Lo más probable es que la pregunta quiera que asumas la independencia entre las dos personas. Además, debo suponer que la idea de "credibilidad" significa simplemente la probabilidad de que digan una cosa dado que es cierta. Denotemos lluvia por $R$ , no llueve por $N$ y el $i$ la persona que dice que llueve $C_i$ ( $i=1,2$ ). Buscamos la probabilidad de que esté lloviendo dado que ambas personas dicen que está lloviendo, es decir, $$P(R|C_1 \cap C_2).$$ Con todo lujo de detalles, así es como resolvemos el problema,

1. Por "credibilidad" se entiende $P(C_1|R) = \frac{4}{5}$ , $P(C_2|R) = \frac{2}{3}$ , $P(C_1|N) = \frac{1}{5}$ , $P(C_2|N) = \frac{1}{3}$
2. Por independencia, $P(C_1C_2|R) =P(C_1|R)P(C_2|R) = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{15}.$
3. Por independencia, $P(C_1C_2|N) =P(C_1|N)P(C_2|N) = \frac{1}{5}\cdot\frac{1} {3} = \frac{1}{15}.$
4. Por probabilidad de lluvia, $P(R) = \frac{3}{4}$ y $P(N) = \frac{1}{4}.$
5. Por Ley de Probabilidad Total, $P(C_1C_2) = P(C_1C_2|R)P(R)+P(C_1C_2|N)P(N) = \frac{25}{60}$
6. Por Bayes, $P(C_1C_2R) = P(C_1C_2|R)P(R) = \frac{8}{15}\cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{5}.$
7. Por Bayes, $P(R|C_1C_2) = \frac{P(C_1C_2R)}{P(C_1C_2)} = \frac{2/5}{25/60} = \frac{24}{25}.$

Esto significa que la respuesta "D" parece ser la más adecuada.